链接高考10圆锥曲线中的最值与范围问题

1.(2023全国甲理,20,12分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=

4?.(1)求p;(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且?·?=0,求△MFN面积的最小值.

解析????(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由?消去x得y2-4py+2p=0,∵直线与抛物线有两个交点A,B,∴Δ=16p2-8p0,解得p?或p0(舍).由根与系数的关系可知,y1+y2=4p,y1y2=2p,∴|AB|=?|y1-y2|=?·?=?·?=4?.解得p=2或p=-?(舍).

∴p=2.(2)由(1)知,抛物