2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案23.指数均值与对数均值不等式指数均值与对数均值不等式

一．基本原理

1．对数均值不等式：两个正数和的对数平均定义：

对数平均与算术平均?几何平均的大小关系：

（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立．

证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……①

不等式①（其中）

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.

（2）再证：……②

不等式②（）

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递增，

故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．

注：对数均值不