第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日几何事实第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理1这是一个充分条件一、单调性的判别法另外区间可为其他任意形式第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日证应用拉氏定理,得类似有第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日例1解注意:函数的单调性是一个区间上的整体性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:二、单调区间求法第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日例2解单调增区间为单调减区间为第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日(2)确定y=arctanx-x的单调区间解第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日例3解单调减区间为单调增区间为第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日例4证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日例5证第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日例6证由介值定理知cosx=x有一个根故方程cosx=x有且仅有一个根。y=cosx-x第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日仅有函数单调性还不够，如拱桥、船体、机翼弧线；图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方三、曲线凹凸的定义与判别问题:如何研究曲线的弯曲方向?1、定义第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日定义：第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理12、曲线凹凸的判定第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日证第16页，共28页，星期日，2025年，2月5日第17页，共28页，星期日，2025年，2月5日例7解第18页，共28页，星期日，2025年，2月5日例8解注意到,第19页，共28页，星期日，2025年，2月5日1、定义注意:拐点必须在曲线上，拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。四、曲线的拐点及其求法可能的拐点:第20页，共28页，星期日，2025年，2月5日