高级扩展
【备考策略】1.熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题。
三角形的三边长度分别为a、b)
该公式即为海伦公式，由古希腊几何学家海伦发现并证明。
南宋时期的数学家秦九韶提出了一种利用三角形三边计算其面积的方法，即秦九韶公式。
(1)若，则有：
(2)若，则有：
(3)若，则有：
在三角形中，三个内角为A、B、
(1)若，则有：
(2)在此情况下，有：
(3)若，则有：
关于中线的定理：
验证：
在上述情况下，利用余弦定理得出：
⑩。
主题一：
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为
2．（2023·江苏·三模）海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂与大斜幂之差减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”若用公式表示，则为：
\[
\text{实}=\frac{(a^2-c^2)}{2}\cdot\left(\frac{(a^2-c^2)-b^2}{4}\right)
\]
其中\(a\)为大斜幂，\(b\)为中斜幂，\(c\)为小斜幂。
4．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：
1．（22-23高三下·河北·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为
2．（2023·浙江·模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则
第二考点
-1B.C.3
第三考点
1．（21-22高三上·全国·阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为
2．（2022·山西临汾·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为
第四考点
1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则
3．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为
1．（2024高三·全国·专题练习）已知AD是的角平分线，，，，则
第五考点
（1）运用正弦定理进行证明。
第六考点
1.在三角形中，角所对的边分别为。至于，
请尝试以下改写，确保内容的专业性和准确性，并略减字数：
原文：2
改写：二请以不同的方式表达以下内容，确保其专业性和准确性，并略微减少字数：在其中，角相应的边分别为请尝试以下改写，确保内容的专业性和准确性，并略减字数：
---
原文：请用不同的表达方式改写以下内容，保持专业性和准确性，字数比原文略少。
改写：请以不同的措辞重述以下内容，确保其专业性和准确性，并适当减少字数。如果请尝试以下改写，确保内容的专业性和准确性，并略减字数：
---
原文：请用不同的表达方式改写以下内容，保持专业性和准确性，字数比原文略少。
改写：请以不同的措辞重述以下内容，确保其专业性和准确性，并适当减少字数。因此其最小值为_____。
第七考点
1．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：
2．（2011·吉林·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则边上的中线长为
1．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）的三边分别为，边上的中线长为
2．（2020高三·全国·专题练习）的两边长分别为，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为
第八考点
1.
二、
4．（23-24高二·全国·假期作业）在中，已知，，，则边上的中线长为
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，的角平