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2025年创新班考试试卷及答案

一、数学能力测试（共50分）

1.（10分）已知函数f(x)=ln(x2+1)-ax2，其中a为正实数。

（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在定义域内有且仅有一个极值点，求a的取值范围。

答案：

（1）当a=1时，f(x)=ln(x2+1)-x2，定义域为R。求导得f’(x)=2x/(x2+1)-2x=2x[1/(x2+1)-1]=-2x3/(x2+1)。

令f’(x)0，即-2x3/(x2+1)0，因分母恒正，故-2x30→x0；

令f’(x)0，得x0。因此，f(x)的单调递增区间为(-∞,0)，单调递减区间