对“速度合成与分解”和“力的合成与分解”问题的再商榷
摘要：对教材中“速度合成（分解）”与“速度变换（叠加）”概念进行区分，并重新审视了关联速度分解与力的分解问题，得出分解速度与分解力在数学上是相“兼容”的结论，即速度分解也可以像力的分解一样运用平行四边形定则沿任意方向分解，只是按作用效果，运用“投影矢量”的正交分解法，在计算时会更加简洁，进而培养学生类比推理的能力。
关键词：速度分解；速度变换；投影矢量；类比推理
中图分类号：G633.7文献标识码：A文章编号：1003-6148（2024）12-0058-6
速度合成与分解是学习高中物理曲线运动的基础，同时也是高考常考的一类重要题型，甚至作为压轴题中的一个命题点。尤其在绳、杆的关联速度问题中，教师通常会告诉学生，此类问题要根据运动的实际效果进行分解，一般沿绳（杆）和垂直于绳（杆）正交分解合速度。事实上，相当一部分学生在对速度进行矢量合成与分解时，会类比力的合成与分解，但最终所得结果却与答案不同，从而产生困惑。既然都是矢量运算，为什么运用数学中平面向量的平行四边形定则对速度分解时会“出错”，而力的分解却不会？此外，大部分学生甚至一些教师也会产生迷思概念，误将速度合成（分解）等同于速度变换（或速度叠加），实际上这是两个完全不同的物理概念。如何理解分解速度与分解力在数学上的“不兼容”问题？速度合成（分解）与速度变换（叠加）又有什么区别？下面将围绕这两个问题进行辨析。
１真题解析与问题争鸣
例１（２０２２年高考物理湖北卷第１６题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图１所示，重物Ａ、Ｂ和Ｃ通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，Ｃ与滑轮等高（图中实线位置）时，Ｃ到两定滑轮的距离均为Ｌ。重物Ａ和Ｂ的质量均为ｍ，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接Ｃ的绳与水平方向的夹角为６０°。某次打桩时，用外力将Ｃ拉到图中实线位置，然后由静止释放。设Ｃ的下落速度为时，与正下方质量为２ｍ的静止桩Ｄ正碰，碰撞时间极短，碰撞后Ｃ的速度为零，Ｄ竖直向下运动距离后静止（不考虑Ｃ、Ｄ再次相碰）。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均可视为质点。
（１）求Ｃ的质量；
（２）若Ｄ在运动过程中受到的阻力Ｆ可视为恒力，求Ｆ的大小；
（３）撤掉桩Ｄ，将Ｃ再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求Ａ、Ｂ、Ｃ的总动能最大时Ｃ的动能。
图１高考试题示意图
解析（１）以Ｃ为研究对象，受力分析如图２所示，则有
2Tcosθ=mCg（１）
T=mg（２）
由几何关系，θ＝３０°。所以解得
mC=m（３）
图２Ｃ物体受力分析图
（２）过程１：碰撞阶段，Ｃ、Ｄ组成的系统动量守恒，规定竖直向下为正方向，所以有
mv=mv（４）
过程２：碰后对Ｄ用动能定理，则
（2mg-F）=0-·2mv（６）
联立（５）（６）式解得
F=6.5mg（７）
（３）根据对称性，设其中一根绳子与竖直方向的夹角为θ，Ａ、Ｂ两物体上升的速度均为ｖ，上升的距离为ｈ２；物体Ｃ下降的距离为ｈ１，下降的速度为ｖC。对三物体组成的系统，由机械能守恒定律有
mgh-（m+m）gh=mv+（m+m）v（８）
如图３所示，沿绳方向速度关联，因此可得
vCcosθ=v（９）
根据几何关系，不难看出
h1=Lcotθ（１０）
h2=L（-1）（１１）
Ek=mCv+（mA+mB）v2（１２）
EkC1rtImCqXrxRL2PxU2K23Cz/t4TQGd30W5gQL49AgGxU==mCv（１３）
联立（８）—（１３）式并化简可得
Ek=mgL［ｃｏｔθ－２（－１）］（１４）
利用导数分析（１４）式函数的单调性，易得θ＝３０°（原静止虚线位置处）时有Ｅｋｍａｘ，因此可知
EkC=（4-2）mgL（１５）
图３关联速度正交分解图
问题：在分解速度时是否可以不沿绳和垂直于绳正交分解Ｃ物体的速度，而是仿照第一问分解力的形式，将Ｃ物体的速度应用平行四边形定则沿两绳方向分解（图４）？若按第二种分解方式计算可得
vC=2vcosθ（１６）
图４ｖC沿绳分解示意图
显然（１６）式不等于（９）式。同为矢量运算，关联速度分解为什么不能像分解力那样用平行四边形定则沿任意方向分解？文献［１］指出：“力的合成与分解”和“速度的合成与分解”之间是有区别的。速度不能随意按照平行四边形定则进行合成与分解，但是可以按照“投影矢量合成法”得到原始速度。只有当两个分速度相互垂直（即相互独立）时，才能按照平行四边形定则进行合成（分解）。
事实上，矢量在数学上又称向量，向量是可以自由移动的。若不加限制，只要满足平行四边形定则，一个向量可以有无数种分解形式，正交分解只是比较简单的一种分解方式。因此，速度分解理应可以不按其效果分解，即上述沿两绳方向分解速度的想法是可行的。下面，以夹角更一般的情