基于Mathematica的弹簧摆模型研究
摘要：在高中物理教学中，弹簧摆模型涉及的运动问题较为复杂，利用Mathematica软件对该物理模型的动力学微分方程进行数值求解和仿真模拟，通过模拟复杂的物理现象及仿真交互实验来帮助学生更好地理解物理知识。
关键词：弹簧摆；Mathematica；仿真模拟
中图分类号：G633.7文献标识码：A文章编号：1003-6148（2024）12-0079-3
信息技术与物理教学的结合已逐渐成为推进物理课程改革的有效途径之一。Mathematica是一款功能强大的通用计算软件，其内置丰富的函数和算法，可进行代数、微分方程、线性代数等方面的计算，解决各种复杂的数学和物理问题。它还具有丰富的数据分析和可视化功能，支持交互式的实验演示和模拟。因此，可结合弹簧摆，探索Mathematica在物理教学中的应用。
1典型例题及答案
例题一轻质弹簧，其劲度系数为k，一端固定在O点，另一端挂一质量为m的小球（可视为质点），不计空气阻力，试求：
（1）如图1所示，若将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持自然长度l0的A点无初速度释放，求小球经过竖直位置P点时的速度，此时弹簧长度为l1；
（2）如图2所示，若静止时弹簧长度为l2，现突然给小球一个水平速度v0=，则小球在向上运动的过程中到达的最高点是否在O点上方，并说明理由。
图1情境1示意图图2情境2示意图
答案（1）设小球到竖直位置P点时的速度大小为v，由功能原理得mgl1=k（l1-l0）2+mv2。此时，小球的速度沿水平方向。结合k（l1-l0）-mg=m，可得v=。
（2）假设小球刚好运动到与O点等高处。此时，速度和弹簧弹力都为零，系统的机械能为mgl2。由于v0=，开始时系统的机械能为mv+EpFmgl2，小球运动到与O点等高处时速度不为零，水平方向的合外力也不能为零，故弹簧弹力不能为零，小球继续向上运动，使得最高点高于O点。
2误区分析
以上是比较常见的“答案”，但存在误区，甚至是错误。问题（1）直接把P点默认为弹簧摆运动轨迹的最低点［１］，并单纯地假设小球的运动轨迹为一个圆周，那么最低点处的弹簧长度就是小球曲线运动的曲率半径。同样，问题（2）的解题思路是简单地认为有了mv+EpFmgl2这一条件，就能确定小球到达的最高点在O点的上方。
3弹簧摆的动力学微分方程组
对于劲度系数为k、自然长度为l0及小球质量为m的弹簧摆，考虑空气阻力的影响时，将弹簧悬挂点作为原点，建立一个直角坐标系。接着，在水平和竖直两个方向分别对小球进行受力分析，从而得到两个方向的动力学方程，即
mx=-（-l）-μxmyNGyVEQJqMY/9sCPIcrWfyw===-（-l）-mg-μy
式中，μ为空气阻力系数，可设μ=0。
4Mathematica仿真模拟程序设计
弹簧摆的仿真模拟程序主要运用了Mathematica软件中的交互式操作Manipulate、求微分方程组数值解的NDSolve、绘制参数图命令ParametricPlot、二维图形命令Graphics和图形显示命令Show等。Mathematica软件的交互式操作功能可以在程序中将弹簧摆的属性以及初始条件设置成多个控制变量，通过移动滑尺输入不同的变量值，仿真不同参数条件的弹簧摆运动。使用NDSolve求解动力学微分方程组，ParametricPlot命令不仅可以绘制出弹簧摆的运动轨迹，还可以绘制出弹簧长度、速度大小、轨迹的曲率半径、动能、弹性势能和重力势能等与水平位移的关系。
为了更好地模拟和研究弹簧摆的运动情况，利用二维图形命令Graphics配合线段Line命令和圆盘Disk命令绘制出弹簧摆，并在图形命令中加入箭头命令Arrow、文本命令Text等以更直观地观察小球运动过程中速度和能量变化的情况；程序命令Manipulate中的图形显示命令Show搭配使用条件命令If可以通过设置控件选择同时显示多个图像。在程序中通过加入控件命令Trigger设置触发器按键，即开始键、暂停键和重置键，可方便观察任意时刻弹簧摆的运动情况。
5Mathematica数值模拟结果分析
5.1水平位置保持原长无初速度释放的运动
根据问题（1）情境，g=9.8，参数随机取m=1，k=10，l0=3，初始条件设为x0=l0，y0=0，x0=0，y0=0，借助Mathematica软件进行数值仿真模拟。
5.1.1弹簧摆的运动轨迹
弹簧摆在不同时刻的运动轨迹如图3所示。
在此程序中可以观察到每一时刻小球运动的位置、速度大小和方向。如图3（a）所示，当弹簧摆第一次摆到竖直位置时，小球速度不在水平方向上，发现运动轨迹的最低点位于原点右侧，并且在竖直位置下方。如图3（b）和图3（