“矢量的合成与分解”学习进阶设计研究
摘要：在学习进阶思想指导下，对矢量、矢量求和的方法、合力、分力等相关概念进行梳理，划分出最契合学生思维跨度的学习进阶层级，帮助学生更好地理解和掌握矢量的合成与分解。学会力的合成与分解的原则和实际操作步骤之后，可以进一步推广到其他矢量，比如“速度”“加速度”，以及在之后学习曲线运动时进行运动的合成与分解。矢量的合成与分解的概念涉及到曲线运动、匀强电场、匀强磁场等十分广阔的范围，具有内容占比大、应用广、难度高的特点。
关键词：学习进阶；矢量；合成与分解
中图分类号：G633.7文献标识码：A文章编号：1003-6148（2024）8-0038-6
１问题提出
“矢量”是物理学科的重要概念之一，“矢量的合成与分解”贯穿于整个高中物理的学习过程中。学生在初中物理接触过“速度”“力”的概念，能模糊地认识到“力”既具有大小，又具有方向；在高一下学期又通过数学课接触了“向量”“平面向量”等概念，这为学习“矢量的合成与分解”打下了基础。比如，学习“力的合成”会经历一维共线—二维平面—三维空间的过程；对物体“运动轨迹”的了解也会经历相似的过程。再如，研究平抛运动时，我们需要根据受力特点，将运动分解成水平方向的匀速直线运动（水平方向不受力）和竖直方向的匀加速直线运动（只受重力）；求解自行车前进时气门芯的运动轨迹，需要将其分解为水平方向的直线运动和竖直面内的圆周运动；带电粒子在复合场中的运动也会涉及到分解。这些都建立在掌握“矢量的合成与分解”的基础上，并结合“牛顿第二定律”进行处理。
在高中物理中，“矢量的合成与分解”具有内容占比大、应用广、难度高的特点。以“学习进阶”为研究方法对“矢量的合成与分解”进行研究，摸清该概念的学习进阶路径，进行合理划分，可以帮助教师优化教学安排，有针对性地设计配套的习题，在实践中及时发现和解决问题，还可以在综合复习过程中为学生提供框架性、系统性的指引。
２学习进阶理论下“矢量的合成与分解”建构
学习进阶在科学教育领域被正式提出是在２００４年。学习进阶的可操作性定义为：学习进阶聚焦于基础性和生成性的核心概念或实践能力，通过确定学生的表现预期来设定进阶过程的“锚点”，进而明确学生在各个阶段应该学习的知识与能力，最后进行针对性教学干预［１］。
郭玉英基于对学习进阶的理解，建构了对科学概念理解的发展层级模型［２］。本文基于以上理论基础和《普通高中物理课程标准（２０１７年版）》［３］，以“矢量的合成与分解”为例进行物理概念的学习进阶研究。利用郭玉英等提出的学习进阶发展层级模型，划分“矢量的合成与分解”的学习进阶，使学生在一个长时间跨度内学习这一重要概念时，能够经历循序渐进、由浅入深的认知过程，经历由简单到复杂、由单一到综合的训练过程。便于教师能够通过该学习进阶的划分，明确学生在各阶段应该学习的知识与能力，合理地设置教学目标和选择教学策略，也便于教师基于学习进阶进行作业设计和教学评价，使评价与课程标准的要求更加一致，达到“教-学-评”一致性。
（１）矢量（ｖｅｃｔｏｒ）
向量最初应用于物理学中，被称为矢量。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿［４］。在数学中，向量的表示包括代数表示、几何表示、坐标表示，我们主要看几何表示和平面坐标表示。
几何表示：具有方向和长度的有向线段，如图１所示。图中矢量的线段长度记作，叫作矢量的模，即为大小；箭头表示方向。若要说两个矢量相等，则需要大小和方向都相同。
图1矢量的几何表示图
坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取x轴、y轴方向相同的两个单位矢量和作为一组基底。=为平面直角坐标系中的任意矢量（图２）。有且只有一对实数（x，y），使得==x+y，因此把实数（x，y）叫作矢量的坐标，即点Ｎ的坐标。和叫作矢量的分量。获得分量的过程叫作投影。
图2矢量的坐标表示图
关于向量投影的两个定理：
定理１：向量的投影等于其模乘以投影轴的正方向与此向量方向所成夹角的余弦。
定理２：向量的投影和等于各向量在同轴上投影的代数和。
（２）矢量的运算
①几何法求矢量和
求任意两个矢量和的和，可以将两个矢量首尾相连，将所得折线段的起点和终点连接，即矢量就是这两个矢量的和（图３），表示为=+。以和为邻边作平行四边形，对角线所对应的矢量即为矢量和。以此类推，也可得到矢量求和的多边形法则（图４），=+++。
图3双矢量求和的示意图
图4多矢量求和的多边形法则示意图
②建立坐标系法求矢量和
如图５建立平面直角坐标系，将矢量和置于坐标系中，将其投影到坐标轴上，分别得到x轴和y轴的分矢量，再进行一维运算，得到x轴上矢量和＋＝，y轴上矢量和＋＝。由=＋得到＋＝。
图5建立坐标系法求矢量和的示意图
（３）“力是矢量”
皮亚杰说：“物理现实与用来描述这种现实