高一数学必修三算法案例教案
一、教学目标
1.让学生理解算法案例中辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制的概念，并能阐述其原理。
2.使学生掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法，会用秦九韶算法计算多项式的值，理解进位制之间的转换规则并能进行相应转换。
3.通过对算法案例的学习，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，让学生体会算法的重要性，在分析问题时养成严谨、有条理的思考习惯。
二、教学重点
1.辗转相除法与更相减损术求最大公约数的原理及应用。
2.秦九韶算法的原理及计算多项式的值。
3.进位制的概念及不同进位制之间的转换。
三、教学难点
1.理解辗转相除法与更相减损术的算理。
2.秦九韶算法中乘法和加法的运算规则及程序设计思路。
3.进位制转换中基数的理解和计算方法。
四、教学方法
1.讲授法：讲解算法案例的基本概念、原理和步骤，使学生系统地掌握知识。
2.案例分析法：通过具体的案例，引导学生分析问题、解决问题，加深对算法的理解和应用。
3.小组讨论法：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队精神和自主学习能力。
五、教学过程
1.导入（5分钟）
-展示一段古代数学家利用算法解决实际问题的视频片段，提问学生：“视频中古代数学家解决问题的方法体现了我们数学中的什么知识？”引导学生自由发言，引出本节课的主题——算法案例。
2.讲解（15分钟）
-从课本中辗转相除法与更相减损术的定义入手，结合板书详细讲解其原理。例如，在讲解辗转相除法时，以计算8251和6105的最大公约数为例，边写计算过程边解释每一步的依据：用较大数除以较小数，得到余数，再用除数除以余数，依次类推，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。
-讲解秦九韶算法时，通过一个具体的多项式，如\(f(x)=3x^5+2x^4+x^3-4x^2+5x-1\)，展示如何将其变形为秦九韶算法的形式，即\(f(x)=((((3x+2)x+1)x-4)x+5)x-1\)，并说明计算过程中乘法和加法的运算规则及优点。
-对于进位制，先给出一些不同进位制表示数的例子，如二进制数\(10112\)、十进制数\(123\)等，讲解进位制的概念，然后通过实例展示十进制与二进制之间的转换方法，如除2取余法将十进制数转换为二进制数。
3.课本讲解
-必修三第34页第1段：“辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法。”
-分析：关键词为“辗转相除法”“欧几里得算法”“最大公约数”。作者通过介绍其别名，让学生了解该算法的历史背景。与前后内容的关联是，为后续详细讲解求最大公约数的方法做铺垫。提醒学生把“辗转相除法，又叫欧几里得算法”这句话画出来，便于理解其重要性。
-必修三第35页第1段：“更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数最大公约数的算法。”
-分析：关键词是“更相减损术”“《九章算术》”“最大公约数”。介绍了算法的出处，让学生了解其历史渊源。与前后内容的关系是，和辗转相除法共同构成求最大公约数的算法案例。提醒学生关注此段内容，对比辗转相除法和更相减损术。
-必修三第36页第1段：“秦九韶算法是一种用于计算一元\(n\)次多项式的值的高效算法。”
-分析：关键词为“秦九韶算法”“一元\(n\)次多项式”“高效算法”。明确了算法的用途和特点。与前后内容的联系是，在学习了多项式的基础上，介绍一种更简便的求值方法。让学生画出“秦九韶算法是一种用于计算一元\(n\)次多项式的值的高效算法”，重点理解。
-必修三第38页第1段：“进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。”
-分析：关键词是“进位制”“计数”“运算”“记数系统”。给出了进位制的定义，为后续学习不同进位制的转换奠定基础。提醒学生重视此定义，理解其核心概念。
4.互动交流（15分钟）
-让学生4人一组，围绕“辗转相除法与更相减损术在计算效率上有何不同”展开讨论5分钟。
-每组派代表发言3分钟，阐述小组讨论的结果。参考答案：辗转相除法主要是通过除法运算，更相减损术则是通过减法运算。在计算较大数时，辗转相除法可能运算次数相对较少，效率较高；但对于一些较小数，更相减损术可能更直观易懂。不过，具体哪种方法效率更高还需根据实际数字情况来判断。其他同学如有不同想法，随时举手补充。
-再组织学生分组讨论“如何用秦九韶算法计算\(f(x)=2x^4-3x^3+5x^2-4x+1\)当\(x=3\)时的值”，讨论5分钟。
-每组派代表上台展示计算过程并讲解3分钟