对象与工具：数线的多维分类及其教学价值
汪杨陆世奇徐文彬
【摘??要】数线即表征数的意义、性质和运算的线。数线是小学数学教学中常用的一种教学辅助手段。从多维视角对数线进行分类并分析其教学价值，可以为这种教学辅助手段的使用提供启示：物理数线和心理数线之间存在外显性和内隐性的差异；有界数线具有有限性，无界数线具有开放性和延伸性；结构化数线、半结构化数线和空数线赋予使用者不同程度的表征和记录自由；单数线只对应一种数量，双数线则体现出两种数量的联结和变化。无论是何种分类，数线都发挥着作为研究对象和作为教学工具的双重价值。
【关键词】数线；多维分类；教学价值；研究对象；教学辅助工具
从广义上来说，数线即表征数的意义、性质和运算的线。它作为数形结合的典型工具，能生动、形象、直观地反映数和形之间的对应关系，是数学教学中常用的辅助手段。和数线相比，数轴在教学中具有更高的关注度。数轴包含于数线，是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。与这样具有严格性和限制性的数轴相比，数线使用范围更广，具有灵活性、开放性和包容性等特点，能为教学提供更多的可能性。因此，厘清数线各种分类的内涵，并分析其所具有的教学价值，是十分有必要的。
一、物理数线和心理数线及其教学价值
从存在形式的角度看，数线可分为物理数线和心理数线。物理数线具有外显性，而心理数线具有内隐性。物理数线是在客观世界中真实存在的具象实体，能够被直接呈现，具有直观可视的特点，具体包括温度计、时间尺、直尺、自制实体数线等。心理数线存在于人的大脑中，具有抽象性。如数字在大脑中的表达像一条从左至右依次递增的数线，小数表征在左边，大数表征在右边［1］。
物理数线常作为数学课堂上的教学工具呈现，能展示出学生的思维过程，促进学生感悟数形结合的数学思想。其教学价值体现在三个方面。第一，承载具体数值，使常见的量直观化。如：人教版教材二年级上册“长度单位”单元中，直尺可用于度量纸条的长度（如图1）；人教版教材二年级下册“克和千克”单元中，秤上的非水平物理数线能测量事物的具体重量（如图2）；另外，还有温度计能准确地测量具体温度；时间尺是一种表示时间的工具，能直观地展现出普通计时法和24时计时法中时刻的对应和转化关系；等等。受这些生活中的物理数线的启发，学生会逐步完成从实物到抽象数线表征的过渡，发展抽象思维。第二，清晰地展现出对应点和数的关系，使数的认识系统化。可将数线上的标记刻度视为参考点，归类出正数和负数、真分数和假分数等，建立整数、分数、小数等不同数系之间的联系，实现数系间的跨越。物理数线作为学习数的稠密性、连续性和离散性的几何模型，可加深学生对数概念的理解和感悟。第三，呈现运算过程，使数的运算形象化。物理数线的形象化能帮助学生理解运算原理，促进学生对四则运算的深入理解，扩展其解决运算问题的思路和途径，体验计算方法的多样性。
心理数线作为个人心理想象空间中的一种抽象空间情境，虚拟且不可视。心理数线的教学价值体现在三个方面。第一，心理数线的表征具有丰富性、差异性。因学生对数线的认识和理解的角度、程度不同，他们抽象的心理数线也会各不相同。在教学中，教师可抓住这种差异性，打破学生常规的心理定式，让学生自主创作数线，如数的大小序列［2］数线。第二，心理数线与数学知识、数学能力具有相关性［3］。整数知识是围绕着心理数线组织起来的，如人教版教材一年级上册“11～20各数的认识”单元例3中做一做的第3题（如图3），题中11～19和20～12的整数数序认知便得益于相应心理数线的建立。另外，心理数线的发展与数学能力的发展也存在一定关联，有研究表明，心理数线的发展和测量、分类等数学能力的发展似乎是齐头并进的。第三，心理数线体现具身认知理论的适用性。心理数线具有响应码（SNARC）的空间—数值关联效应（右手对大数、左手对小数会作出更快的反应），这表明心理数线与多感官互相影响。因此，教师在教学中可调动学生的多感官来感知、理解数线，通过与数线相关的活动来扩展和完善学生的心理数线。
二、有界数线和无界数线及其教学价值
从有限和无限的角度看，数线可分为有界数线和无界数线。这两种数线能够体现不同情境下数线的工具性本质。有界数线完整地标记出数线的端点，固定的起点和终点使得该数线的长度有限（如图4）。无界数线的端点标记不完整，通常没有端点或者只有一个端点，所以数线的长度可无限延伸（如图5）。有些无界数线上的基本单位长度选择用数来标记［4］。
有界数线的教学价值体现在三个方面。第一，有界数线是数形结合的典型载体。有界数线的长度是确定的，可对应表示数量的大小和多少。因此，可借助有界数线直观的长短关系来表示其所代表的实际数量的大小关系，以形示数。如人教版教材五年级上册“简易方程”单元“实际问题与方程”中的例10（如图6），教材借用有界数线来分析