走向“一般”意义上的代数
张伟明钟立
【摘??要】小学阶段，“字母表示数”是促进学生符号意识发展的重要教学内容之一。基于前测确定教学目标后，围绕“随机‘红包，感知字母可以表示可变数；比较‘思辨，体会含有字母的式子可以表示数量关系；内化‘结构，丰富字母表示数的代数意义；回顾‘过程，顺应字母表示数的历史发展”展开“字母表示数”的教学实践。通过教学，学生的理解逐步从“特殊”走向了“一般”。
【关键词】前测；字母表示数；符号意识；代数思维
一、问题缘起
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）加强了对“字母表示数”相关内容的要求，其明确指出：“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性。”在小学阶段，“字母表示数”的相关内容，是帮助学生体会如何运用符号表示数量关系和一般规律，理解运算规律和推理结论具有一般性的重要渠道，对学生提升抽象概括能力、发展数学符号意识和数学语言表达能力有着重要的意义。
在现行人教版教材中，“字母表示数”的起始例题先用对话的形式呈现“爸爸的年龄比小红大30岁”，再用表格整理出小红不同年龄时爸爸的对应年龄，并用算式进行表征，接着提出问题“怎样才能用一个式子表示出任何一年爸爸的岁数”，借此引发学生认知冲突，让学生有寻求、探讨、交流的欲望，并在交流中形成对用字母表示数的共识。教材的编排，呈现了一条可以让学生经历从特殊到一般再回到特殊的学习路径。从“一个式子表示一个年龄”到“一个式子表示任何年龄”的突破，是学生认知上的一次飞跃，也是本内容的教学难点。
学生对字母或含有字母的式子可以表示数的理解究竟有多深？字母与含有字母的式子的表征应如何建立？怎样引导学生理解用字母表示数具有一般意义？笔者带着这些问题，设计了问卷，于2022年5月对X校五年级45名学生进行了前测，并基于前测确定教学目标，展开教学实践。
二、前测及结果分析
前测的主要目的是了解学生对字母表示数的理解情况，了解学生对用字母或含有字母的式子进行表征的水平。
（一）学生对字母表示数的理解程度
通过测试题①“△+△+△+△=16，△表示的是??；我的想法是??”，对学生是否能解决用字母表示特定数的问题，以及用怎样的思路解决问题进行检测。具体解题情况如表1所示。
测试表明，解题时学生的想法大致有两种：一种是用除法计算，思维过程主要是4个△是16，1个△就是16÷4=4；另一种是用乘法计算，思维过程主要是4个4相乘的结果为16，所以△代表的数是4。有90%的学生能正确表达出本题代表的数量关系是4个△之和为16，这说明学生能够理解用字母表示特定数的意义。
通过测试题②“2、4、6、□、10、12……□表示的是??????”、测试题③“2、4、6、8、10、12……□，□表示的是?????”，对学生是否能够用字母表示一类数进行检测。其中学生解决测试题②的正确率为100%，解决测试题③的情况如表2所示。
从表2可以看到，只有6.67%的学生能够正确地用字母表示出这一组数的特征。以14、20、26等具体数来描述数据特征的占77.78%。有15.56%的学生采用了ɑ、12+ɑ、x等表征方式，这部分学生已经具备了偶数的概念，也试图在符号和偶数之间建立关联，但在具体的表征方式上遇到了困难。访谈中发现，多数学生知道测试题③中“□”表示的意思是偶数，但学生无法用字母进行表征，很多不能正确表征的学生给出的理由是“我不知道，感觉应该是这样的”。
（二）学生用字母或含有字母的式子进行表征的水平分析
通过测试题④“郑老师的年龄比张老师大20岁，你能简明地表示出郑老师有几岁吗？我的表示方法??，我的想法是??”，对学生用字母或含有字母的式子进行表征的水平进行分析。学生的表征水平划分为水平0到水平5共6个层次，具体情况如表3所示。
从表3可以看到，有53.33%的学生能用文字表征、图形符号表征、字母等式表征、字母式表征等刻画郑老师的年龄。其中，48.89%的学生用含有符号的等式（如ɑ+20=郑老师年龄）表征郑老师的年龄，仅约4.44%的学生直接用含有字母的式子（如ɑ+20）表征郑老师的年龄。结合访谈发现，这两类表征的差别在于，他们都知道可以用符号来表示数，也知道可以借助符号进行运算，但前者不理解代数式也能表示数。也就是说，对学生群体来讲，理解同一个式子中同一符号可以表示相同的数，以及用含有字母的式子表示数量关系是有难度，但比较而言，理解含有符号的式子可以表示结果的难度更大。
综上所述，学生在前测中体现出的符号表征能力差异性比较大。前期用字母表示“固定数”（如扑克牌中A、J、Q、K分别表示1、11、12、13）的生活经验，对学生真正提升用字母表示数的意识作用有限。学生对用字母表达一般性的关系的理