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2023-2024-2高等数学A(下)试卷A答案

一、单项选择题：(每小题3分，共45分)

1-5BDCCC6-10AACCC11-15DBACA

16.（8分）

解：由，知，故可变形为

（2分）

解此线性微分方程，得通解为

（6分）

由，得，故.（8分）

17.（8分）

解：（3分）

（6分）

（8分）

18.（8分）

解：因为

（2分）

所以积分与路径无关.取从0变到2,则

（5分）

（8分）

19.（8分）

解：作辅助曲面下侧,由于

（2分）

（5分）

（8分）

20.（8分）

解：（3分）

（6分）

（8分）

21.（9分）

解：由于原点到曲线上的点的距离为，

故构造拉格朗日函数

,（2分）

解方程组（6分）

得到驻点：或（8分）

因此所求距离的最大值为，最小值为.（9分）

22.（6分）

证明：(1)由知

再由，知即有下界.

又由于

所以单调减少，故存在，记为则（2分）

对两边同时取极限，可得.（3分）(2)由(1)知单调减少且有下界1，

从而（4分）

又由于的部分和

所以收敛，由比较法知级数收敛.（6分）