正本清源打通关联系统构建
付荣玲李庆海
【摘??要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》将百分数从“数与代数”领域移到了“统计与概率”领域，把百分数作为统计量進行教学。这一全新意义的诠释使一线教师产生了很大的困惑。教师可从百分数的产生与发展角度出发，打通百分数传统意义与新课标赋予的统计意义的中间地带，通过“在真实情境中比较、在多元关联中理解、在随机现象中刻画”，来构建百分数的统计意义。
【关键词】数学史；百分数；多元关联；数据分析；系统构建
一、缘起：“左右为难”的百分数
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将百分数从“数与代数”领域移到了“统计与概率”领域，把百分数作为统计量进行教学。这一传统内容的新诠释引起了大家的关注，并引出两个极端的现象。
现象一：“单纯”统计量的百分数
有教师执教“百分数的意义”一课时，为了体现统计量的意义，设计了三个任务：现场抛硬币让学生感受随机性；分析某学生的投球命中率；请学生确定五年级学生跳绳达标线。由于任务多，现场收集数据时间长，学生对百分数产生的必要性认识模糊，对百分数表示统计量也是一知半解。
现象二：表示倍数关系的百分数
分数有表示具体的量和倍数关系两种意义，百分数是分数表示倍数关系的一种特殊情况。很多教师认为，不要急着让学生感受百分数的统计内涵，而是要先让学生理解百分数表示倍数关系的内涵，再在应用中融入“统计”素材，让学生慢慢感悟其统计意义。
上述两个现象说明，对于百分数的新身份“统计量”，一线教师是有很多困惑的。从数学史的角度理解百分数的产生与发展，可以帮助教师从源头上理解百分数的两种意义，打通两种意义的关联，帮助学生建立百分数的统计意义。
二、溯源：百分数的产生与发展
百分数是特殊的分数，在日常生活中很常见，但是百分数的产生却经历了漫长的时间。
百分数起源于早期的商业活动，应用在利息、税收、兑换货币等商业行为中。如古印度人计算利息是以100为基数的，即每100元可以获得多少利息；古罗马人从事商业活动时，看盈利还是亏损也是相对于100来比较的。那时的百分数，“百”是一个标准，是一个具体的量，不是分数意义上的分母。
进入现代以后，百分数作为统计数据深入日常生活，广泛应用于经济、社会等很多领域。其对随机数据的刻画、对功能的描述与大数据、决策等紧密联系，引发数学家、数学教育家对百分数价值的新思考。这大概是百分数这一内容从“数与代数”领域移到“统计与概率”领域的缘由。
百分数产生之后，便随着人类生活的发展而动态发展，它的意义与范围也从刻画具体的量扩展到刻画抽象的数量关系，从刻画确定的量发展到描述不确定的量，百分数的统计意义日益凸显。
三、辨析：寻找“数认识”到“统计量”的中间地带
百分数源于分数，发展于比较，广泛应用于统计，从而成为与平均数一样身份的统计量。它与分数、比、统计的关系如图1。
（一）理解百分数意义的本质：两个数的倍数关系
从图1可以看出，百分数源自分数的“率”，表示两个数或数量的倍数关系。百分数在表达时主要有两种意义。
一是百分数表示确定数据时两个数的倍数关系。学生要通过教材上安排的税率、利率、折扣等问题，理解百分数的倍数关系的意义，即百分数表示一个数是另一个数的百分之几。只有理解了百分数的意义，才能解决生活中的实际问题，也就是以往教学强调的百分数的意义。
二是百分数表示随机数据时两个数的倍数关系，即2022年版课标提出的百分数的统计意义。在生活中，百分数一般是在调查中得到的，它的统计意义体现为把百分数作为统计数据进行分析和比较。如某篮球队员罚球的命中率，罚球次数的变化会引起命中率的变化，学生可以通过数据变化进行分析，并做出判断与预测。
尽管百分数可以描述与表达确定数据的关系，也可以描述随机数据的关系，但是本质上仍然是“两个数量的倍数关系”。
（二）对比课标变化：打通两种意义间的隔断墙
百分数这一内容，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）和2022年版课标“课程内容”中的要求，既有联系，又有区别（如表1）。
在2011年版课标中，百分数被编排在“数与代数”领域，要求“结合具体情境”理解百分数的意义，会对百分数进行形式的转化，能解决简单的分数结构的实际问题。在2022年版课标中则指向百分数的统计意义，要求“结合具体情境”探索百分数的意义。“探索”是描述过程目标的行为动词，是指要让学生在特定的问题情境下，独立或合作参与数学活动，理解或提出数学问题，寻求解决问题的思路，获得确定的结论。虽然同样是要求“解决百分数简单的实际问题”，目标却指向让学生“感受百分数的统计意义”“形成数据意识”。
因此，在教学中要打通百分数传统意义与新课标赋予的统计意义的中间地带。教师要通过不同素材，打通百分数两种意义间的隔断墙