百分数“统计意义”的内涵、育人价值及教学建议
刘加霞马晓丹陶安慧
【摘要】“理解百分数的统计意义”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的新要求。百分数的统计意义表现在描述随机数据的倍数关系，其目的是发展学生的统计思维。认识确定数据之间的倍数关系是理解百分数统计意义的前提与基础，要求学生在具体的问题情境中，通过“在讨论与辩论中感悟数据的随机性；与已有的统计经验建立链接，感悟‘数据蕴含信息；感悟‘命中率的来源决定其可信度”来理解百分数的统计意义，发展统计思维。
【关键词】百分数；统计意义；统计思维
统计学与数学、物理学等自然科学相比，最大的不同是统计学具有“容错性”，其依据的理论、采用的方法、思维的形式，在很多情况下并不是为了寻求永恒不变的定律和准确无误的定值（也许不存在定律和定值），而是为了从瞬息万变的混沌世界中抽象出社会经济现象的本质特点进行推断和估计。
“统计意义”是指人们无法确定未来社会经济等方面的具体发展结果，只能作出概率的估计与推断。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）中有11次提及“统计意义”，除2次谈到“平均数的统计意义”、1次谈到“数据的统计意义”外，其他几次主要说的是“百分数的统计意义”。“理解百分数的统计意义”是2022年版课标的重要修改之处。
那么，百分数的“意义”指什么？何谓百分数的“统计意义”？统计意义的具体表现是什么？学生理解百分数统计意义的价值是什么？教学中如何处理百分数的统计与非统计意义？理解百分数统计意义的教学建议有哪些？
一、当用百分数描述随机数据的倍数关系时才具有“统计意义”
百分数的起源可以追溯到早期的商业活动中，涉及利息、纳税和货币兑换等。最初百分数是作为一个具体的数量出现的，是“每一百个单位”对应的具体数量。例如，百分数的意大利语为“percentro”，意思是“每一百中有多少”，后来演变为德语“procentro”，之后又演变为现代的词语“procent”。百分数的现代英语单词是“percent”，其含义愈加抽象，表示部分与整体、一个量与另一个量的倍数关系或者是两个度量对象之间的相对大小。百分号“%”来源于15世纪的意大利商人，当货物降价时，他们会使用一种特定的缩写符号“PC0”，之后逐步演化为“per[00]”“[00]”，直至现代的“%”，才不再具有“量”的含義。也有研究者［1］舍弃百分数的现实意义，从“数”的角度将其定义为“繁分数（两个分数的商）”，但这样的定义不适用于小学阶段。
百分数主要用于描述一种关系或进行比较，这里的比较既可以发生在部分与整体之间，也可以发生在不相交的两个量之间。［2］因此，把百分数称为百分率或百分比更能凸显其表示两个量之间的倍数关系。“两个量”既可以是确定数据，也可以是随机数据。其中，用百分数描述两个确定数据之间的倍数关系可以称为百分数的“数学意义”。例如，某人某月工资是1000元，其中包括奖金200元，则奖金占工资总额的20%。又如，将5mL蜂蜜放到95mL的温水中，蜂蜜占整杯蜂蜜水的5%，配相同浓度的1000mL蜂蜜水就“百分之百”地需要50mL蜂蜜。此时的百分数（浓度）不具有“统计意义”，它只描述蜂蜜与蜂蜜水的倍数关系，用它可以衡量蜂蜜水的甜度或浓度。这种对不具有随机性数据的分析称为描述性分析（描述统计），这里的信息是数据“自身携带”的，只需要描述出来，不需要进行推断、估计等思维活动。
用百分数描述随机数据之间的倍数关系则是百分数的“统计意义”。例如，小明一共投了20个球，投中了12个，投球命中率是60%，但不能说，投10个一定命中6个，投100个一定命中60个。类似地，出勤率、合格率、发芽率等概念的获得都要涉及抽样或通过调查得到随机数据，此时利用百分数进行分析、判断或者作预测所得到的结论不能“百分之百”地成立，要考虑其具有“随机性”。这种对随机现象进行的概率估计和抽样推断都是百分数“统计意义”的具体体现。
百分数体现“倍数关系”、体现“程度”（百分数的“度量”含义，有统计含义，也有非统计含义），利用百分数制定“标准”（误差程度、随机性大小）等都是2022年版课标要求的内容。尤其是学会制定标准和基于标准作出判断，都涉及重要的数学思维，是小学数学教育的较高目标。例如，根据投篮的命中率决定谁参加比赛，如比赛获胜的可能性大小；根据科学抽样所得到的样本情况来推断总体的情况，如确定某年级学生跳绳的合格标准。
制定标准与按标准做事是非常重要的两件事，既涉及能力问题，也涉及情感态度甚至是价值观的问题。因此，学生认识百分数要经历“从低到高”的三个阶段，具体包括：每一百个单位所对应的“具体量”、两个确定数据之间的倍数关系（数学意义）、两个随机数据之间的倍数关系（统计意义）。让学生“理解百分数的统计意义”对他们的