从点阵看算式
贾陆宇郜舒竹
【摘要】点阵是人们理解“数与运算”的重要工具。作为一种直观模型，点阵能够将抽象算式形象化，其动态变换可以呈现不同算式间的等价关系。从点阵视角看算式，能够帮助学生建立算理与算法间的联系，提升对算式间关系的感悟，更好地把握数学运算的整体性与一致性。因此，教师在教学中应当重视点阵的应用，充分发挥其课程价值。
【关键词】点阵；算式；运算；运算感
点阵是表征数字符号的直观模型，常作为数形结合的载体，出现于教科书中数的认识、表内乘法、倍数与因数等内容中，用以帮助学生建立具体与抽象间的联系。长期以来，小学数学学科关于“数与运算”主题的课程设计与课堂教学，更重视计算的速度与准确性，相对忽视运用数形结合的方式“发现”算式间关系的过程。
学生对点阵的观察及其动态变换的操作，能够帮助他们进一步理解算理、明晰算法，提升对算式间等价关系的认知。在实际教学中，教师应重视对此类直观模型的运用，通过呈现直观图式辅助教学，将抽象的“关系”形象化。
一、历史溯源
点阵是人们认识并理解“数与运算”的重要工具。它的历史源远流长，可追溯至古希腊时期。当时，毕达哥拉斯（Pythagoras）将对世界的科学观察与数联系起来，发现数与已经存在或即将形成的事物间存在“结构上的相似性”。按照毕达哥拉斯、亚里士多德（毕达哥拉斯学派的追随者）的观点，结构上的相似性体现为“数”几乎是所有事物的组成元素，世间万物都可以用“数”来表达，如固定的琴弦长度比能产生和谐的音调、天体与地球的距离适宜使得宇宙间球体转动的声音变得和谐等。［1］
基于数与世间万物在结构上的相似性，毕达哥拉斯相信纷繁杂乱的世界蕴含着亘古不变的“数学规律”，即“数（Number）”，并认为数是永恒的，独立于感性世界而存在，人们理解世间万物的关键在于数，即万物皆数［2］；相信一切形体均由数衍生而来，因而常常通过摆放沙滩上的卵石来表示数［3］，适当摆放一定数量的卵石能够形成规则几何图形。由此，毕达哥拉斯学派按照几何图形的形状对“数”进行了分类，衍生出“形数（FigurateNumbers）”的概念，如三角形数、正方形数、五边形数等。［4］比如从视觉上来看，因为3块卵石能够以正三角形的形式进行排列，所以“3”就被认为是一个三角形数（如图1）。
“形数”的出现使得形与数之间的内在联系得以凸显。通过数与形的相互转化，抽象的事物能够直观化，复杂的事物能够简单化。因此，后人继承并发扬了毕氏学派“以形表数、以数解形、数形结合”的思想，用具有均匀间隔的“点（Dots）”代替卵石，通过构造点的规则几何排列来表示数，进而形成“点阵（Arrays）”的概念。
从“形数”到“点阵”的演进过程，充分体现出直观图式对理解抽象概念的重要性，也揭示了同一集合对象间或不同集合对象间的关联性。［5］同一集合内，对象间“存在联系”是因为它们具有“相似之处”。比如，若将“形数”视为集合，三角形数、正方形数、五边形数等对象均因“能够形成规则几何图形”而具有了共性。正是这样的共性为抽象算式之间的联系的形象化提供了可能。
二、算式的形象化
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出，学生要在具体情境中了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系。［6］若想感悟运算间的关系，就要找到算式与算式间的异同，其中最直观的方式就是“看到”变与不变，为此就需要“以形表数”，将算式中蕴含的思维过程可视化［7］。
点阵可以提供有关加减法、乘除法等运算的具体模型，具有将抽象算式、算法可视化的功能。［8］在点阵中，当一组对象可以按照某种标准模式排列而没有剩余对象时，便能够将某个数字或运算与一组对象关联起来。［9］比如，当以“点”为单位时，图2所示的点阵便与数“4”存在关系。
在此基础上，同一个点阵通过不同的划分方式，还能够与算式相联系，并使得算式間的等价关系可视化。如图3所示，对于同一点阵，两种不同的划分方式从左到右分别联系着算式“1+3=4”与“1+2+1=4”。
在点阵中，除了以点为单位，还能以点集为单位，将点阵与乘除法相联系。从以点为单位发展到排列和构造相等的数组，并以此作为集合计数的顺序，也更符合学生先学习加减法、后接触乘除法的思维过渡顺序。［10］
综上所述，点阵与运算紧密关联，运算赋予点阵以“数”的意义，点阵又将运算以“形”的形式进行展现。同时，点阵在直观与抽象之间搭建起一座桥梁，将数与算式变为“具体”的事物，使抽象的数学对象变得可视化，因“形”的关系变得直观。
三、算式间的关系
美国华盛顿州立大学的DavidSlavit认为，“运算”在数学课程体系中具有十分重要的意义，运算与运算间的关系应成为学生学习的重点内容，并据此提出“运算感（OperationSense）”这一概念，用于描述学生在学习运算时能够获得的一些能力。同时，不同类别的两个