基于学习路径分析的“有余数的除法”单元整体教学
邵蓓瑜章勤琼麻永侃
【摘要】竖式记录每一步计算的过程。要理解其算理，就要在教学中做好情境意义、操作过程与竖式记录的关联。“有余数的除法”单元的核心目标有两个：（1）理解有余数的除法的含义以及余数与除数的关系；（2）理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式。从有余数的除法开始学习除法竖式，能让学生更好地理解除法竖式的合理性。同时，学习除法竖式的过程，又能帮助学生更好地理解除法含义。
【关键词】学习路径；单元整体教学；有余数的除法；竖式
除法的本质是不断地对不同单位的总数进行平均分的过程，分了之后对剩余的进行转化，与下面的单位进行合并，然后再重复这样的过程。［1］因此，除法竖式需要记录每次平均分过程的“分什么？要分多少份（每份分多少）？每份分多少（能分多少份）？分了多少？还余多少？”五个步骤。如果有不同单位的多次均分，还需要处理“余下的怎么办”的问题，并继续记录这一过程。这样的除法竖式不仅是在记录计算的过程，还与整个算理理解和思考过程对应。［2］在“有余数的除法”单元教学中，教师容易忽视竖式记录的关联性，即没有做好情境意义、计算过程与竖式记录的关联，导致学生停留在浅层次的程序化记忆中，失去了理解除法竖式的合理性与深化理解除法意义的机会。在教学时，该如何帮助学生进行有意义的竖式记录，进而理解除法竖式的合理性，明晰除法意义呢？本文通过基于学习路径的“有余数的除法”单元整体设计来进行说明。
一、理解学习目标
（一）单元目标概述
1.人教版教材单元目标
（1）通过操作、观察、对比等活动，使学生发现日常生活中在分物时存在着分不完有剩余的情况，借此理解余数及有余数的除法的含义，初步培养学生全面思考问题的意识。（2）通过操作、计算、比较等活动，让学生经历除法竖式（含表内除法的竖式）的书写过程，理解竖式中每个数所表示的意思，初步培养学生的观察、分析能力以及恰当地进行数学表达的能力。（3）使学生初步掌握试商的基本方法，并能较熟练地进行有余数的除法的口算和笔算，培养学生的运算能力。（4）使学生初步学会用有余数的除法解决生活中的简单问题，初步感受数学与生活的联系，继续掌握解决问题的基本思路和基本方法。［3］
2.北师大版教材单元目标
（1）能在教师的指导下，从日常生活中提出简单的除法问题；在解决实际问题和对结果的实际意义进行解释的过程中，进一步体会除法的意义，感受除法与生活的密切联系。（2）能读懂情境图中蕴含的信息，初步学习画图、列表等多样化的解决问题的策略，知道同一个问题可以有不同的解决方法，并运用有余数的除法解决简单的实际问题。（3）认识余数并经历探索余数和除数关系的过程；掌握商是一位数的除法竖式的书写格式，了解除法竖式各部分的意思；经历有余数除法的试商过程，进一步体会余数一定要比除数小。（4）乐于参加数学活动，初步形成对数学的好奇心和探索欲望。［4］
两个版本教材的单元目标都包含三个板块的内容和要求：（1）理解有余数的除法的含义及余数与除数的关系；（2）理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式；（3）运用有余数的除法解决问题。
（二）确定核心目标
根据单元目标可知，理解有余数的除法的含义是学习除法竖式的基础，同时，除法竖式的学习又能帮助学生进一步理解有余数的除法的含义，促进学生用有余数的除法解决问题。因此，本单元的核心目标是：（1）理解有余数的除法的含义及余数与除数的关系；（2）理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式。
（三）核心目标具体化
确定上述核心目标后，还需根据运算意义以及竖式记录过程，分析核心目标的内涵，形成具体的表现性目标。
1.理解有余數的除法的含义
能理解平均分后有剩余的情境；能用自己的方式表征平均分的过程并能结合情境作解释；能在理解、比较不同方法的基础上，用有余数的除法算式表征情境，并理解除法算式各部分的含义；理解余数与除数的关系。
2.理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式
能结合情境意义和平均分的过程，用除法竖式进行记录；能结合情境，借用除法横式对除法竖式进行解释、筛选；能理解除法竖式的合理性，理解除法竖式各部分的含义。
根据核心目标可知，明晰有余数的除法的含义能帮助学生理解除法竖式记录的必要性，而除法竖式记录过程又能促进学生对算理的理解。教学时应建立情境意义、计算过程、竖式记录三者之间的联系，使除法竖式的学习成为理解算理、掌握算法的过程，凸显竖式的作用与价值。
二、确定学习起点
根据具体化目标，学生对平均分的过程和除法含义的理解是本单元的学习基础。因此，笔者设计了两道表现性评价的题目，对二年级41名学生进行测试，并根据SOLO分类理论对学生的答题情况进行水平分层的分析。
测试题1：将50颗糖果平均分给4个人，你是怎么分的？请你用图或文字等形式把分的过程清楚地记录下来。
本题考查学生对“