4.2指数函数4.2.1指数函数的概念第四章指数函数与对数函数学习单元6指数指数函数

[学习目标]1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.

知识点1指数函数的概念内容索引知识点2求指数函数的解析式课时作业巩固提升知识点3指数函数在实际生活中的应用课堂达标·素养提升

知识点1指数函数的概念

一般地,函数(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数是自变量,定义域是R.y=axx

(1)下列函数:①y=2×3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=(-2)x.其中,指数函数的个数是()A.0 B.1C.2 D.3(1)3x的系数是2,故①不是指数函数;y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数;3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故③是指数函数;底数-20,故④不是指数函数.例1B

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判断一个函数是指数函数的方法1.看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a0,且a≠1)这一结构特征.2.明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数思维提升

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(2)函数f(x)=(m2-m-1)ax(a0,且a≠1)是指数函数,则实数m为()A.2 B.1C.3 D.2或-1(2)由指数函数的定义得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.D

知识点2求指数函数的解析式

1.指数函数的结构特征(1)指数函数解析式中ax的系数为;(2)底数a是常数,满足a0,且a≠1;(3)自变量x是指数,且x∈R.其中函数y=kax(k≠0,a0,且a≠1)称为指数型函数,y=ax(x∈N*)称为正整数指数函数.2.指数函数和幂函数的区别两者虽然都是幂的形式,但不同之处在于指数函数的自变量在上,而幂函数的自变量在上.1指数底数

?例2

1.求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式.2.求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.思维提升

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知识点3指数函数在实际生活中的应用

增长率为的变化方式,我们称为指数增长.衰减率为的变化方式,我们称为指数衰减.常数常数

光线通过一块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数解析式;[分析]从特殊到一般推出函数的解析式,再把x代入函数式求值.例3

[解](1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)k=0.9k;光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)×0.9k=0.92k;光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)×0.92k=0.93k;……光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk,因此y=0.9xk(x∈N*).

(2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少?(参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12)[分析]从特殊到一般推出函数的解析式,再把x代入函数式求值.[解](2)将x=20代入函数解析式,因为0.920≈0.12,所以y=0.920k≈0.12k,即光线强度约为0.12k.

1.设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,设现有量增长到y,则y=N(1+p)x(x∈N*).2.y=kax(k0,a0且a≠1),当a1时为指数增长型函数模型.y=kax(k0,a0且a≠1),当0a1时为指数衰减型函数模型.思维提升

4.随着我国经济的不断发展,2023年年底某地区农民人均年收入为7000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2031年年底该地区的农民人均年收入为()A.7000×1.06×7元 B.7000×1.067元C.7000×1.06×8元 D.7000×1.068元跟踪训练D

设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元,根据题意可得y=7000×1.06x,从2023年到2031年共经过了8年,所以2031年年底该地区的农民人均年收入为7000×1.068元.

5.某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中的污染物数量).经过5h后,经测试,消除了20%的污染物.问:(1)15h后还剩百分之几的污染物?解:(1)由题意得,P=P02-5k=(1-20%)P0,则2-5k=0.8,故当t=15时,P=P02-15k=P0(2-5k)3