课程基本信息
课例编号
2020QJ09SXRJ055
学科
数学
年级
初三
学期
秋季
课题
24.1.4圆周角(2)
教科书
书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》
出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月
教学目标
教学目标：掌握圆内接四边形的有关概念及性质，圆内接多边形的概念，能应用圆周角的性质及圆内接四边形的性质,进行计算、证明和探究；渗透“由特殊到一般”的数学思想方法.
教学重点：圆内接四边形的概念及性质.
教学难点：圆内接四边形性质与圆周角性质的综合应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1min
复习回顾
一、定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
及其推论：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等.
2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3min
引入新知
直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
我们来研究“同弦”的情形（“等弦”与“同弦”类似）：弦AC所对的圆周角都相等吗？
我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，∠D，∠E，∠F.
问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.
这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.
问题2:能否用学过的知识加以证明呢？
通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.
∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.
问题3:∠B与∠D的关系呢？也相等吗？
不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D不相等.
我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.
问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？
它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？
引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？
5min
探究性质
圆内接四边形ABCD的对角有什么关系？
请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD的对角有什么关系.
可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD的对角互补.
证明：连接OA，OC.
性质：
圆内接四边形的对角互补.
延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.
圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
7min
巩固练习
例1如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=，则∠ACB=_______.
变式：
当∠AOB为时，∠ACB=_______.
当∠AOB为时，∠ACB=_______.
小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若
练习如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB=，则∠ACB=__________.
下面请同学们试一试这道提高题吧.
例2如图,在圆内接四边形ABCD中,
(1)求证：
(2)求四边形ABCD的面积.
解答如下：
（1）证明
证法一：连接BD.
证法二：
eq\o(\s\up8(︵),\s\do1(AB))=eq\o(\s\up8(︵),\s\do1(AD))，
四边形ABCD是圆内接四边形，
（2）解：
∵四边形ABCD内接于⊙O.
又
5min
拓展提升
（一）平行四边形
请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？
1.画一个圆；
2.画一条弦AD；
3.画AD的平行线段BC，使BC=AD，点B在圆上；
4.平行移动线段BC，使点C落在圆上.