第2课时角的平分线的判定
教师备课素材示例
●类比导入(1)角的平分线的性质定理是角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)我们学过很多定理，比如平行线的性质定理和判定定理，它们的题设和结论是互换的，你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗？
(3)你觉得这个新命题正确吗？这节课我们将学习角的平分线的判定．
【教学与建议】教学：通过对已知定理转化命题的题设和结论的方式，得到新命题，是探索新知识的一种重要手段．建议：类比性质定理得到判定定理，以知识为载体感受逆向思维与类比思想的重要意义．
●悬念激趣某考古队为了进行研究，寻找一座古城遗址，根据史料记载，该古城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m，如图所示（比例尺为1∶200000）．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能在图中标出古城遗址的位置吗？
【教学与建议】教学：通过探秘古城遗址的方式，激发学生兴趣，体现数学知识的实际应用．建议：根据图示抽象出简单的几何图形；要确定一个点的位置，通常利用两条线（直线或弧线）的交点来确定，由“到古塔的距离是3000m”可知这个点一定在以古塔为圆心、以3000m（图上距离是1.5cm）为半径的圆（弧）上；另这个点“到两条河岸的距离相等”如何确定呢？这就是我们本节课要学习的内容．
·命题角度1利用角的平分线的判定解决有关问题
题目中如果要证明一条射线是角平分线，要根据该线上任意一点到角两边的距离相等来证明，也可以利用角平分线的定义来解决．
【例1】如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝150°.
【例2】如图，以△ABC的两边AB，AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE，CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.
证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.
∵△ABD，△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴DC＝BE.
又∵S△DAC＝S△BAE，即eq\f(1,2)DC·AM＝eq\f(1,2)BE·AN，∴AM＝AN.
又∵AM⊥OD，AN⊥OE，
∴OA平分∠DOE.
·命题角度2综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
(1)在实际问题中，确定位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常用角的平分线的性质来解决；(2)运用角平分线的性质和判定解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形中的直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点．
【例3】如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)
A.1处
B．2处
C．3处
D．4处
高效课堂教学设计
1．掌握角的平分线的判定．
2．学会运用角平分线的性质和判定解决几何证明、计算与实际问题．
▲重点
角的平分线的判定．
▲难点
角的平分线的性质与判定定理的灵活运用．
◆活动1新课导入
1．点到直线的距离，就是这一点到直线的垂线段的长度．
2．角的平分线上的点到角两边的距离相等.
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(B)
A．1B．2C．3D．4
◆活动2探究新知
1．教材P50练习下面部分．
提出问题：
(1)角的平分线的性质是什么？
(2)交换性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？
(3)到角两边距离相等的点一定在角的平分线上，理论依据是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P51例．
提出问题：
(1)点P在∠A的平分线上吗？为什么？
(2)这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3知识归纳
1．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
◆活动4例题与练习
例1如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC.
例2如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是△ABC的外角∠CAH的平分线．
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥B