14.3角的平分线
第1课时角的平分线的性质
教师备课素材示例
●置疑导入如图是小勋制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？
【教学与建议】教学：以风筝为例导入，充分调动学生的学习兴趣．建议：引导学生利用三角形“SSS”判定全等，得到AC是∠DAB的平分线．
●置疑导入用折纸的方法作角平分线时，将∠AOB对折，再折成直角三角形，然后展开（如图所示），观察两个直角三角形全等吗？两条直角边PD，PE与该角的两边有什么关系？你能归纳角平分线的性质吗？你能证明这个性质吗？请用数学符号描述此性质．
【教学与建议】教学：动手折纸使学生从实践中发现角平分线的作图方法及性质．建议：运用教具（或动画）直观地进行讲述，提出探究的问题．
·命题角度1角的平分线的作图
根据题目要求，利用尺规作图的方法作一个角的平分线，其依据是全等三角形的判定方法“SSS”．
【例1】如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
解：作∠AOB的平分线交AB于点M，即M处为水厂的位置．
·命题角度2利用角平分线的性质解决有关问题
利用角的平分线的性质解决问题的关键：寻找角的平分线上的一点到角两边的垂线段，利用角平分线的性质计算线段长度或面积．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4，AB＝11，则△ABD的面积等于(B)
A．30B．22C．44D．10
eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))
【例3】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝7，则点P到BC的距离是3.5.
【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝DF，求证：CF＝EB.
证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DF＝DB，,DC＝DE，))
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF＝EB.
高效课堂教学设计
1．让学生学会用尺规作一个已知角的平分线．
2．探索并证明角平分线的性质．
3．让学生学会用角平分线的性质解决有关问题．
▲重点
掌握角平分线的性质．
▲难点
灵活运用角平分线的性质解决问题．
◆活动1新课导入
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？
◆活动2探究新知
1．教材P48探究．
提出问题：
(1)当OM＝ON时，PM与PN有什么关系？
(2)当OM≠ON时，PM与PN有什么关系？
(3)反过来，当已知OM＝ON，PM＝PN时，点P在什么位置？
学生完成并交流展示．
2．教材P48思考．
提出问题：
(1)你知道怎么画一个角的平分线吗？
(2)在作图过程中为什么要以大于eq\f(1,2)MN的长为半径画弧？
(3)为什么OC是∠AOB的平分线？理论依据是什么？
学生完成并交流展示．
3．教材P49探究．
提出问题：
(1)观察图形14.3－4，比较P1D1与P1E1，P2D2与P2E2，P3D3与P3E3…，你有什么发现？
(2)通过上面的探索你能归纳出角的平分线的性质吗？
(3)你能证明这个性质吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3知识归纳
1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法.
2．角的平分线上的点到角两边的距离相等.
3．一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
◆活动4例题与练习
例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DB＝DC，,DE＝DF，))
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B＝∠C.
例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点