;第六讲空间的角与距离;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识点一两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ
＝|cosθ|＝______(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
知识点二直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平
面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝______.;知识点三求二面角的大小
1．如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.
2．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法
向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝_______，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．;知识点四利用空间向量求距离
1．点到直线的距离;2．点到平面的距离;归纳拓展;双基自测
题组一走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()
(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)×;题组二走进教材
2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是________.;3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为________，AD1与平面AEC1所成角的余弦值为________.;题组三走向高考
4．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，
AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的
中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．;[解析](1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，
所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，
因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，
又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；
又因为DE，BE?平面BED，DE???BE＝E，
所以AC⊥平面BED，
因为AC?平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.;第一课时空间的角和距离问题;考点突破·互动探究;空间的距离——师生共研;2．(2024·河南摸底(节选))如图，已知正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面(经过旋转轴的截面)，点E在底面圆周上，AB＝5，AE＝4，点F是CE的中点．求点B到平面ACE的距离．;解法三：向量法
∵线段AB是圆O的直径，∴AE⊥BE，
以点E为坐标原点，EB，EA所在直线分别为
x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，;[引申]本例2中点C到平面ABF的距离为________.;名师点拨：
1．向量法求点到直线距离的步骤
(1)根据图形求出直线的单位方向向量v.;2．求点到平面距离常用的方法
(1)定义法：通过求点P到平面垂线段的长求得点到平面的距离，而找(或作)垂线段先要找(或作)过点P的已知平面的垂面，再找(或作)它们交线的垂线．
(2)平行转移法：即通过线面平行或面面平行，转化为其他点到平面的距离．;【变式训练】
(2024·陕西商洛部分学校联考)如图，在直三棱柱
ABC－A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别
是棱A1C1，BC，AC的中点，∠ACB＝60°.
求点F到平面ABD的距离．;解法二：向量法
由解法一易知BA、BC、BB1两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，;空间的角——多维探究;[答案]A;[引申]本例中若H为PC的中点，则BH与PA所成角的余弦值为________.;名师点拨：
1．求异面直线所成角的思路
(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量v1，v2；;2．两异面直线所成角的关注点;角度2线面角;[解析](1)证明：∵A1C⊥底面ABC，
∴A1C⊥AC，A1C⊥BC．
又∠ACB＝90°，
∴A1C、AC、BC两两垂直，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又BC?平面BCC1B1，
∴平面BCC1B1⊥平面ACC1A1.
又A1到平面BCC1B1的距离为1，AA1∥CC1，
∴A1到CC1的距离等于C到A