15.3等腰三角形
15．3.1等腰三角形
第1课时等腰三角形的性质
教师备课素材示例
●悬念激趣(1)如图是一组含有等腰三角形的生活图片，这些图片有哪些共同点？
(2)将一把等腰三角尺和一个铅锤按图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
要想解决这个问题我们需要先研究等腰三角形具有哪些性质．
【教学与建议】教学：活跃课堂气氛，让学生带着问题进入学习，也为后面的学习打下基础．建议：尽量给学生制造疑问，如怎样检查一根横梁是否水平；测平仪能测平的道理是什么等．
●归纳导入问题1：如图①，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？你能画出具有这种特点的三角形吗？
eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))
学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.
【归纳】有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角（如图②）．
问题2：把问题1中剪下的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，你能填好下表吗？
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B＝∠C
BD＝CD
∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∠ADB＝∠ADC
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？（引入课题）
【教学与建议】教学：创设问题情境，激发学生的学习兴趣，归纳等腰三角形的性质．建议：教师引导学生归纳．性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）.
·命题角度1利用等腰三角形的定义（两边相等）解决问题
当已知边没有确定为底边或腰时，要分情况讨论求解，并注意三角形的三边关系这一隐含条件．
【例1】一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是(B)
A．9cmB．12cm
C．9cm或12cm D．以上都不对
【例2】等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把这个三角形分成周长差为2cm的两部分，则腰长为6cm或10cm.
·命题角度2利用等腰三角形的性质进行角度计算
(1)在等腰三角形中，当已知锐角不能确定是顶角还是底角时，需分类讨论；
(2)在等腰三角形中，已知的直角或钝角只能是顶角，不需分类讨论．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D等于(B)
A．40°B．50°
C．60°D．80°
【例4】等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为(C)
A．75°B．30°C．75°或30°D．不能确定
【例5】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为60°或120°.
·命题角度3利用等腰三角形的性质证明有关结论
(1)等腰三角形“等边对等角”的性质在证全等三角形时可以得到等角；
(2)等腰三角形“三线合一”的性质可以用来证明角相等、线段相等和线段垂直．
【例6】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.
证明：过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2.
∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°.
∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.
∴∠DBC＝∠2.∴∠BAD＝2∠DBC.
【例7】如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，∴BP＝PC.∵AD＝AE，∴DP＝PE.
∴BP－DP＝PC－PE.∴BD＝CE.
高效课堂教学设计
1．探索并证明等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
3．体会轴对称在研究几何问题中的作用．
▲重点
理解和掌握等腰三角形的性质．
▲难点
等腰三角形性质证明中辅助线的添加和对“三线合一”的理解．
◆活动1新课导入
教师预先作出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形．
让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．
◆活动2探究新知
教材P78探究．
提出问题：
(1)△ABC是什么特殊三角形？为什么？
(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角．
(3)图中有哪些相等的角？有哪些相等的线段？
(4)△ABC是不是轴对称图形？对