以实证分析促进概念的深度理解
【摘要】基于实证分析的教学研究从教学现象出发，有针对性地对证据进行采集和分析，问诊把脉，有助于教师改进教学。教师结合“有余数的除法”的实证分析，从问题出发，用证据说话，通过对学生经验和概念学習的分析研判，进行教学重构。重构后，以任务驱动结构化教学，能让学生在多维生成中比较联系，在多向联系中理解内化，有效促进了学生对概念的深度理解。
【关键词】实证分析；概念理解；余数
教师教学行为的改进，要从经验观察走向事实分析，从感性思考走向理性研判。通过实证分析，获得最佳研究证据，能帮助教师理解学生的认知差异，对学材组织、学习方式和评价反馈等作出合理的调整。如何通过实证数据，凸显事实分析，关注过程反馈，以达成概念的深度理解呢？笔者以“有余数的除法”教学为例，进行了如下探索与思考。
一、缘起学生“犹豫不决”的答题
在“有余数的除法”教学后，学生在看图写算式时出现了图1的结果。如图所示，学生写好算式后又进行了修改，先写的是正确的算式“10÷4=2……2”，后改成错误的算式“10÷2=4……2”。这一修改过程能展现出学生答题时的犹豫不决。
这种“犹豫不决”是缘于学生对“有余数的除法”含义的不理解吗？还是缘于对“等分除”和“包含除”的混淆？或是对“余数要比除数小”这个规律的感知不够深入，从而不能进行迁移应用？为解决这一问题，教师需要分析学生的学习过程。
二、基于学生经验的实证分析
实证分析不是简单地为解决一节课的教学进行数据收集，而是指向学生学习数学的动态发展过程。因此，教师要把一节课的学习内容放在一个教学单元甚至一个学段的知识结构中进行实证，分析学生的学习经验，从而从内容割裂走向教学整合。
（一）明确实证内容的关键
各版本教材通常在二年级下册安排有余数的除法的教学。人教版教材把它安排在了平均分、除法含义和用乘法口诀求商的教学内容之后（如图2）。
人教版教材在编排“有余数的除法”的含义时，是从“刚好分完”的除法算式迁移到“均分后有剩余”的除法算式的。有余数的除法算式通常由教师借助情境和图式直接告知学生（如图3）。可这样的告知符合学生的认知规律吗？这就需要教师进一步思考以下三个问题。
1.平均分的意义需要扩展吗
学生会认可“均分后有剩余”也是平均分吗？从整体上看，建构除法概念需要经历两个不同阶段，即“表内除法”和“有余数的除法”，分别对应“刚好分完”和“均分后有剩余”两种情况。除法的本质是平均分。为了建立“平均分”和“除法”之间的联系，第一阶段的学习重点聚焦于“刚好分完”的情况，从而建立“平均分”与“刚好均分”的强关联。那么，“平均分”与“均分后有剩余”的关联是怎样的呢？对于例题中首次出现的“摆3个，还剩1根”的结果，学生是否会认可这也是平均分，可以用除法表示呢？
2.会用除法算式吗
如果学生认可“均分后有剩余”也是平均分，那么他们会用除法算式表示吗？如果不会，那会用什么算式表示？
3.对除法算式的理解会受影响吗
平均分有两种不同的情况，一种是等分，一种是包含。与之相关的，基于不同的均分过程，除法算式含义可分为“等分除”和“包含除”。那么，在有余数的除法算式中，学生能对其进行辨认吗？
针对这三个问题，笔者用测试和访谈的方式，对城区某校二年级272名学生进行了课前和课后的实证。
（二）分析实证数据的表现
1.“均分后有剩余”与“平均分”的弱关联
用图4对学生进行课前测试，结果显示，测试中没有学生把题③看作平均分；题②增加了3个圈作为固定份数，只有约5.15%的学生认为是平均分。在访谈中，有学生认为：“第②幅图表示的是有3份，每份同样多，所以也是平均分，剩下的那颗糖就不管了。”
思考：如果学生不认为均分后有剩余是平均分，那么就很难理解用除法算式来表示均分后有剩余。因此，教师要先引导学生认识平均分，再帮助他们进一步理解“有余数的除法”的含义。那为什么有些学生认为题②也是平均分呢？因为固定了份数，就能直观地看到每份同样多。
启示：在教学中，对于静态的图，首先要理清份数，在份数的基础上识别每份都同样多的结果。在动态操作的过程中，则要先确定每份数，再与份数进行关联。教学中，教师要结合动作、图式、语言和算式等进行多元表征。
2.“均分后有剩余”与除法算式的陌生感
教学前，对于“均分后有剩余”的情况，学生能用有余数的除法算式来表示吗？有多少学生已经能迁移应用？如果不用除法算式，学生又会用怎样的算式表示“均分后有剩余”呢？针对这个问题，笔者采用单个情境操作后列算式（如图5）和同个情境不同均分结果操作后列算式（如图6）两种方式对学生进行课前测试。
在单个情境操作后列算式的测试中，用连加、乘加算式表示的学生约占12.87%，用连减、乘减算式表示的学生约占69.12%，用除法算式表示的学生约占18.01%。从数据中可以看出，相对于除法算式，学