经历操作过程抽象数学模型
李芳李露茜邵汉民
【摘要】人教版教材二年级下册有关“表内除法”的两个教学单元可以看成一个整体。这部分内容教材编写层次清晰，注重联系实际创设情境，但教材中“除法的初步认识”“除法运算”“用除法运算解决问题”三部分内容之间的联系体现得不足，故据此提出具体教学策略，以实现数学知识的一致性与结构化目标。最后通过实践改进教学思路，按照“含义·方法·应用”的路径，融合学习除法含义，“想乘做除”学习除法运算，“由乘引除”用除法運算解决问题。
【关键词】操作活动；数学模型；表内除法
人教版教材二年级下册“表内除法”分为两个教学单元，包含三个方面，分别是除法的含义、除法运算（用乘法口诀求商）和用除法运算解决问题。首先，从整体分析的视角，可以把这两个教学单元整合到一起进行梳理，从而发现其内在的编写结构。其次，从整体设计的视角，提出可以改进的地方。最后，把改进之处付诸实践，形成除法意义、除法运算与用除法运算解决问题相互融合的一个整体。
一、梳理——了解教材的编写特点
人教版教材在二年级下册第二、第四单元分别编排了“表内除法（一）”“表内除法（二）”，从整体分析，主要包括三个板块，第一个板块是“除法的初步认识”，第二个板块是“用2～6的乘法口诀求商”，第三个板块是“用7～9的乘法口诀求商”。把两个教学单元的教学内容看成一个整体，主要包括三个方面的具体内容——除法的初步认识、除法运算（用乘法口诀求商）和用除法运算解决问题。笔者从教学内容与情境创设两个维度对教材进行梳理，以帮助教师理解教材编写的特点。
（一）单元学习层次清晰
从教材的编排结构看，三个方面的教学内容既相互独立，又层层推进。图1是教材编排的具体结构与对应的例题分布［注：带*的是表内除法（二）中的例题］。
从图1可以发现，“表内除法”三个方面的教学内容十分清晰，其中“除法的初步认识”是其他两个方面教学内容的基础。“用乘法口诀求商”是在“除法的初步认识”中的平均分物的基础上优化而成。“用除法运算解决问题”中的数量关系来源于“除法的初步认识”，而列式计算求商来源于“用乘法口诀求商”。
（二）联系实际创设情境
仔细分析教材中的例题，每一个例题都创设了贴近学生生活实际的情境，而“平均分物”又是它们共同的主题。第二单元“表内除法（一）”设计了“全班同学春游前，平均分零食”的主题图，具体用“分糖果”“平均分橘子”“平均分饼干”等情境作为例题来学习“平均分”概念。其中“平均分橘子”“平均分饼干”情境分别体现现实生活中两种平均分物的情况，即“等分（分配）”和“包含”，从而让学生充分地体会到“平均分”来源于现实生活。
除法可以看成对“平均分”过程和结果的记录。因此，教材中创设了“把12个竹笋平均放在4个盘里，每盘放（??）个”和“20个竹笋，每4个放一盘，能放（???）盘”两个问题情境。第一个问题情境属于平均分物的“等分（分配）”情况，第二个问题情境则是平均分物的“包含”情况。这样的问题情境编排分为四个层次：首先进行平均分的操作活动；接着用语言描述什么是平均分；然后用除法算式表示平均分的过程和结果；最后介绍除法算式中各部分的名称。
“用乘法口诀求商”的情境分成两类，一类是“数数”模型下的除法运算，另一类则是“矩阵”模型下的除法运算，用“一图式三算式（一个乘法算式、两个除法算式）”的方式进行呈现，即根据乘法与除法的关系，由一个乘法算式引出两个除法算式，并用乘法口诀推算除法的商。
两个单元中各有一个例题是“用除法运算解决问题”，每个例题的情境相对独立。第二单元“表内除法（一）”要解决的问题是“用笼屉放粽子”，第四单元“表内除法（二）”要解决的问题是商品买卖中求玩具的“单价”或“数量”。结合具体情境对问题进行抽象概括，形成解决此类问题的数量关系。
从“除法的初步认识”“用乘法口诀求商”和“用除法运算解决问题”这三个方面创设的情境中可知，它们的情境是相对独立的。“除法的初步认识”创设的主要是“平均分食物”这样的情境，便于采用实物或学具进行具体操作。“用乘法口诀求商”中，除了第二单元中的例1“猴妈妈分桃子”沿用之前的“平均分食物”的情境，其他的三个例题均采用“数数模型”或“矩阵模型”，先用乘法计算得到总数，再由乘法算式引出除法算式，最后用统一的乘法口诀计算出结果。“用除法运算解决问题”创设的两个情境“用笼屉放粽子”和“小朋友买玩具”，与前面的两个情境完全不同，这两个情境具有社会气息，更贴近日常的劳动与生活。
通过以上的单元梳理可以发现，整个“表内除法”教学内容的编排具有学习层次清晰、例题情境设计多样与不同学习内容情境独立等特点。这些特点既有值得在教学中充分展现的地方，也有可以改进之处。
二、反思——提出改进的具体内容
对于上述编排特点，笔者进行进一步反思，并发现问题，提出了一