称彩球：小学生早期代数思维发展的一个案例研究
【摘??要】代数学习对小学生来说有一定的难度，进行早期代数思维的渗透和相关内容的学习，能为小学生后续进一步学习代数减轻难度。“称彩球”就是为小学生代数思维发展而设计的拓展课。教学前发现，关系推理对于学生学习有一定的难度;教学中，通过思考与操作，让学生体验关系的推理，应用推理的结果解决问题;教学后，学生关系推理总体水平有明显上升，代数思维提升有成效。
【关键词】称彩球;代数思维;关系推理
现行的小学数学各套教材都不约而同地把“未知数与方程”这个代数内容放在高年级进行教学，这是因为代数内容的学习对小学生来说有一定的难度，且已成为学生进一步学习数学的一个障碍。如何应对挑战？其中一个方法是进行早期代数思维的教学。大量研究显示，如果在正式学习代数之前，进行代数思维的渗透和相关内容的学习，就会大大减轻小学生学习代数的难度，从而更顺畅地用代数的思维方式来解决问题。
在小学低年级进行早期代数思维的萌发[1]，既可以结合现行教材的相关内容，如“找规律”教学中函数关系的渗透、“数的运算”教学中运算互逆关系的学习、“图形代数”教学中数量关系的推理等，也可以设置专门的数学拓展课。与前者相比，后者目标更聚焦，有利于学生深度学习和深刻体验。“称彩球”就是为小学生代数思維发展而设计的系列拓展课中的内容。
【前测准备】
为了解学生的学习基础，我们准备了5道前测题，每题2分，共10分，这5题都来自浙教版教材（是未学内容的后续习题）。杭州市胜利山南小学二年级学生70人进行测试，前测题和测试结果如表1。
根据结果，我们不难看出，解决第1题、第2题这类可以直接看出数量关系的简单题型，学生可以用算术思维直接解决问题，题目的得分率就比较高。而解决第3题至第5题这类需要发现隐含关系并运用关系推理的题型，学生需要具有一定的代数思维能力，因此这些题的得分率都不高。特别是第3题，得分率最低，不到本题分值的35%。由此得出，关系推理对于学生来说确实有一定的难度。因此我们把这节课的目标聚焦到关系推理的学习上。
【教学目标】
（1）通过观察与操作彩球活动，让学生感知数量的协变和对应关系。
（2）在思考与操作中，让学生体验关系推理，并用推理的方法来解决问题。
【学习材料】
天平（平衡秤）、彩球、学习单。
（一）任务1：选彩球比轻重
教师呈现5个大小相同的彩球，提问：哪个最重？哪个最轻？两两比较，比几次能比出轻重关系？
学生掂一掂，称一称，画一画，记录称重结果。教师引导学生观察与思考：怎样比较轻重？
经过交流与反馈，学生发现了多种方法。
（1）把记录结果按球的颜色重新排列就容易比出轻重了。黄球在天平下沉的一头有3次，说明它比另外3个球都要重，所以是最重的（如图1）。同样，绿球比其余2个都重，红球比紫球重，说明紫球最轻（如图2）。从图1、图2中还可以看出紫球在天平翘起的那头有3次，说明它比其他3个球都要轻。
通过比较学生还发现：①颜色相同的球同样重;②4种颜色的球比轻重，两两相比，要比6次。
（2）从其中一个结果开始，连续比较。如从黄球开始，发现它比绿球重;再找绿球，发现它比红球重;再找红球，发现它比紫球重。所以黄球最重，其次是绿球、红球，最轻是紫球。
（设计意图：比较球的轻重，实际上是在进行数量关系的推理，是比较简单的直接推理，为后续的基于等量的代数推理活动“热身”。）
（二）任务2：利用天平移彩球
（1）教师出示天平，然后往天平的左右托盘里一个一个地加上彩球，天平时而左边下沉，时而右边下沉，直到呈现如图3所示的状态，天平平衡了。
（2）教师引导学生观察与思考：你发现了什么？学生汇报，教师不作评价，目的是交流，由学生独立思考判断是对还是错。
（3）呈现任务：用这11个球，还可以怎样放，天平仍旧保持平衡？小组合作，画出彩球平衡图。（只能观察，不能动手尝试）
（4）交流与反馈。
第一类是把左右两边的球交换位置，即把原来是右边的球放到左边，把原来是左边的球放到右边。第二类是根据彩球的重量关系来放置。
受任务1的启发，学生重新排列了图中的彩球（如图4），发现将彩球一一对应后，左边还剩1个红球，右边还剩2个紫球。因为左右两边同样重，所以将同样的彩球对应抵消之后，剩下的1个红球与2个紫球同样重。根据这样的关系，可以把右边的1个红球替换成左边的2个紫球（如图5）。
（5）操作验证。让学生动手在天平中验证二类推理情况的可行性。
（设计意图：在问题解决中引导学生发现关系。需要说明的是，教师不要引导学生先发现关系再进行代换推理，而是要让学生面对一个真实任务，体验问题解决的真实过程，即在解决问题时先让学生感到彩球这么多无从下手，然后通过观察，发现隐藏在其中的对应关系，进而用关系推理来解决问题。在这个过程中学生自然地感受到解决问题时发现关系的必要性，获得推理后的