基于整体性思维的数学起始课教学研究
何建余李婉玥唐恒钧
【摘??要】关注起始课在单元教学和知识板块中的价值，基于整体性思维反思起始课的教学，对新课改背景下的小学数学教学具有重要意义。以北师大版教材三年级下册除法单元起始课《分桃子》为例，提出起始课要挖掘与后续学习的基本共通点，夯实与后续学习共通的抓手，进而奠基学生整体性知识网络。
【关键词】起始课;基础性;发展性;共通性;整体性思维
“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性……”那么，如何引导学生感受数学知识的整体性？笔者以起始课为研究对象，从整体性思维的角度对起始课教学进行了初步的探索，以此文与大家讨论交流。
一、起始课的重要性及学习现象
起始课往往安排在数学教材每个单元的第一课，是本单元或者同板块知识学习的基础，所以它具有基础性，同时它对学生后续学习起着知识、经验、方法等方面的奠基作用，因而它又具有发展性。教材在起始课中安排的内容往往是描述性知识，学生通过语言描述进行识记。例如《分桃子》一课的重点是除法的竖式计算，难点是理解除法竖式每一步的意义，学生可以通过死记硬背、模仿等方式习得知识。因此，学生能正确列出除法竖式，但未必明白除法竖式这么写的原因;学生能说出除法竖式每一步的意思，却未必真理解。在日常教学中，确实有部分学生对于除法竖式的正确书写和意义描述，靠的是死记硬背和大量重复性练习。这样的学习过程让学生的思维只是停留在知识的表面，他们看似掌握了知识，实则没有真正理解知识的来龙去脉，未能感受到数学知识间的联系，不能由此及彼。因此，如何关注起始课的基础性和发展性，以整体性思维进行起始课教学，值得我们研究与探讨。
二、起始课以挖掘与后续学习的共通性为设计关键
数学学习的共通性指相关数学内容在理解上具有相通点，它是单元学习的基础，贯穿于单元学习的始终。学生对数学知识内容的理解和学习具有一致性、连贯性和阶段性的特点。教师在单元学习的起始阶段，要从学生理解的角度发掘单元学习内容的共通性，为整个系列内容的学习奠定基础。如北师大版教材三年级下册“两、三位数除以一位数的笔算除法”的知识、技能和数学思想方法与四年级上册“三位数除以两位数的笔算除法”是相通的，两者具有一致性，这种在前后知识学习中相近或相通的知识、技能和数学思想方法体现了学习的共通性。本单元的学习重点是两、三位数除以一位数，商是两位数的除法竖式计算。在此之前，学生在二年级已经学习了两位数除以一位数，商是一位数的除法竖式。本单元的除法竖式，要两步求商，在列除法竖式的过程中要思考“先写哪步，后写哪步”，即本课是学生探究“除法竖式从高位算起”的起始课，而学生后续学习两位数甚至更多位数除以一位数以及三位数除以两位数的竖式计算，均要运用“除法竖式从高位算起”这一运算法则。可见，本课探究的运算法则与今后将学的所有除法竖式具有共通性。
本课时教材安排的题型有两种：（1）被除数十位、个位上的数都是除数的整数倍，如68÷2;（2）被除数十位上的数是除数的整数倍，个位上的数不是除数的整数倍，如68÷3。这两类除法算式看起来不一样，但它们的计算过程具有很强的相似性，不管先从被除数高位算起还是先从被除数低位算起，难易程度都是一样的，这是由于这两类被除数的十位数都是除数的整数倍，计算过程中不会产生“被除数的十位数有剩余，与个位数合一起继续除”的情况，从而导致学生在动手“分小棒”求商的过程中，无法区分是“从高位分到低位”还是“从低位分到高位”的情况，这对学生体验“除法竖式从高位算起”的必要性造成很大干扰。因此，为引导学生充分体验“除法竖式从高位算起”这一看似人为规定的运算法则的合理性，笔者对本课教材中的“分一分”环节进行了调整，把第二课时“被除数的十位数有剩余，与个位数合一起继续除（48÷3）”的类型整合到本课的“分一分”环节中，引导学生在两种类型的“分一分”中发现“先分个位数再分十位数”的局限性以及“先分十位数再分个位数”的合理性，进而为理解“除法竖式从高位算起”建立具体、直观的表象。
教师设计了以下教学步骤。首先，借助情境图引出两个问题：（1）有68个桃子，平均分给2只猴子，每只猴子分到多少个？（2）有48根胡萝卜，平均分给3只兔子，每只兔子分到多少根？让学生独立思考。接着，请两位学生用分小棒的方式展示68÷2的不同过程：一位学生先分十位再分个位;另一位学生先分个位再分十位。学生发现两种分法结果相同。最后，引导学生用分小棒的方式展示48÷3的过程，组织全班交流，总结得出：对于48÷3这一算式，先分十位上的数，再分个位上的数会更简单，因此，我们在分小棒时一般都从被除数的高位开始分。教师板书展示分物过程（如图1），突出不