利用数学语言构建数学模型
【摘??要】数学语言是一种简洁而精确的抽象语言。构建数学模型是用数学语言进行概括和抽象的过程。利用数学语言构建数学模型，有助于学生通过文字、图形、符号等方式精确表征、合理应用、融会贯通。
【关键词】数学语言;数学模型
弗赖登塔尔说过：“当思想能被直观地描述时，马虎的语言是能被接受的。但是，一件事越抽象，离直观越远，就越需要用仔细的语言来描述。”数学语言是一种简洁而精确的抽象语言，它为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式，让人们能够清晰而有效地研究世界中的数学问题。
数学语言在构建数学模型中的作用尤为突出。笔者以人教版四年级下册《乘法分配律》新授课为例，谈谈用数学语言构建乘法分配律模型的过程，引导学生利用数学语言表征现实世界，构建数学模型并利用模型贯通知识等，从而加深对乘法分配律的理解与应用。
【课例回顾】
一、以形助数，探究问题——使用数学语言
数学语言是学生在课堂上最直接的思维表达方式，也是提升学生问题解决能力及抽象能力的有效方法。因此在课堂上，教师应适时激活学生的生活经验和知识经验，引导学生用规范的数学语言表达与解决问题。
1.数形结合，提取信息
师：前段时间很多同学参加了学校组织的“诗画校园”书画比赛，这是四、五年级现场书法比赛的座位分布图，你有什么发现？（教师课件呈现座位分布图，如图1）
生：我发现有很多人参加现场书法比赛。
生：我发现五年级参加的人数比四年级多。
生：我发现每一列的人数是一样的。
生：我发现每一列坐了12人。
生：我知道四年级的人数，也知道五年级的人数，总人数也可以知道。
师：同学们在这张座位表上发现了很多信息，那么你能不能用数学的表达方式表述这些信息，并且提出一个数学问题呢？
生：每一列坐12名学生，四年级坐了5列，五年级坐了6列。参加比赛的四、五年级学生一共有多少人？
师：我们在图中发现了不少信息，也能根据需要提取有用的信息，提出数学问题。（教师课件呈现图2）
（设计意图：座位分布图是常见的图式，学生相对来说比较熟悉。让学生根据图片找信息，其实就是培养学生提取信息的能力。而在信息提取中，学生通过优化，用“每列12人”“有多少列”这样的语言更为规范地表达并且提出数学问题。这个过程其实就是学生将日常语言转化为数学语言的过程。虽然仍是文字表述，但去除多余信息，提取有用信息后，就是数学语言的最初形态。）
2.探究问题，精炼语言
师：那么四、五年级究竟有多少名同学参加了现场书法比赛呢？请你用自己的方法来解决。
学生出示两种解题方法：①（5+6）×12;②5×12+6×12。
师：虽然用这两种方法都求出了四、五年级学生参加现场书法比赛的人数，但是它们的思考方法一样吗？
生：第①种方法是先求出一共有多少列，然后乘以每列12人，就求出了总人数。第②种方法是先求出四年级有多少人，再求出五年級有多少人，最后求总人数。
师：是的，这位同学已经发现了两种方法的不同之处。那么谁能说得更清楚，更明白些呢？
生：第①种方法是先求出一共有几列，然后用列数乘一列的人数，再求出总人数。第②种方法是先分别求出四年级和五年级的学生数，再求总人数。
生：我可以用两个数量关系式来表示两种不同的方法。①（四年级5列+五年级6列）×一列12人=总人数;②四年级5列×一列12人+五年级6列×一列12人=总人数。
师：那么这两种方法有什么相同的地方吗？
生：它们都是求四、五年级学生参加现场书法比赛的总人数。
生：我们也可以这样想，5个12+6个12，那其实就是11个12，所以这两个算式肯定是相等的，（5+6）×12=5×12+6×12。
（设计意图：在分析两种方法的过程中，学生既能从具体的情境中区分不同的思考方法，也能从乘法的意义中找到两种方法的共同点，这样就能让学生在实际应用中逐渐构建乘法分配律的模型。同时，从文字语言的理解到数量关系式的转化，也说明学生在应用数学语言表征研究对象上有所进步。）
二、举例验证，构建模型——切换数学语言
在构建模型的过程中，教师要引导学生运用已有的知识及经验提出猜想，并通过举例、证明等方法来验证自己的猜想。在这个过程中学生运用不同的数学语言进行表达，提高了判断的准确性。
1.猜想验证，模型初显
师：像这样（5+6）×12=5×12+6×12的式子，你觉得还有吗？
（学生猜想另外的等式并且举例）
师：这几组式子中的每一组都相等吗？你能用自己的方式进行验证吗？
生：我对左右两边的式子都进行了计算，发现答案是一样的，所以左右两边是相等的。
生：我用（5+6）×12=5×12+6×12举例，左边是11个12，右边是5个12加6个12正好就是11个12，所以是相等的。
师：是的，有的同学通过计算、比较后发现左右两边的式子相等，也有的同学通过乘法的意义，发现了这一结果。
（设计意图：在这一环