第1页，共23页，星期日，2025年，2月5日一、MRA的进一步讨论MRA由一组子空间序列组成，满足条件：第2页，共23页，星期日，2025年，2月5日MRA的尺度函数应满足的条件：是L2(R)的Riesz序列和的关系为：为何不提正交基？第3页，共23页，星期日，2025年，2月5日两种方法构造MRA：（1）构造一组子空间序列满足条件(1)-(5)，（容易）；然后寻找尺度函数满足(6)-(8)（困难）。(2)找函数满足(6)(7)，由(8)来定义若这样的满足(1)-(5)，就找到了一个MRA。第4页，共23页，星期日，2025年，2月5日当满足(6)(7)时，可证明(8)定义的满足(1)(4)(5)，定理5.1证明也满足(3)定理5.1：设满足条件(6)，由(8)定义，用表示由向的正交投影算子，则对任给的，有，即第5页，共23页，星期日，2025年，2月5日结论：若找到一函数满足(6)(7)，则(8)定义的满足(1)(3)(4)(5),只需再加一条件，就可确定(8)生成的也满足(2)，如定理5.2所示。定理5.2：设满足条件：(a)是中的Riesz列；(b)在0点连续，且；则(8)生成的有在中稠密，或。第6页，共23页，星期日，2025年，2月5日定理5.3：设满足：(a)是的Riesz系；（条件6）(b)，即满足双尺度方程；（条件7）(c)在0点连续，且；则空间构成MRA第7页，共23页，星期日，2025年，2月5日注意：1）存在着一些小波，没有尺度函数（例如MexicanHat小波等）2）“好”的小波一定是由MRA生成的定理4.5若对某个，小波函数满足则这样的小波一定对应于MRA。（时频域同时局部化好）第8页，共23页，星期日，2025年，2月5日二、例2：Meyer小波设定义在R上的函数，满足(1)(2)(3)(4)(5)则一定存在函数满足（意味着找到MRA的尺度函数的频域形式）怎样证明？第9页，共23页，星期日，2025年，2月5日定理5.4：若满足(1)-(5),则(的傅立叶反变换）构成MRA的尺度函数。证明:A)显然，在0点连续（由(3)式保证），且，所以满足定理5.3的条件(c)。B)由(4)(5)式知，级数，所以不仅是的Riesz系，而且标准正交，因此满足定理5.3的条件(a)第10页，共23页，星期日，2025年，2月5日(C)设以为周期，它在上的值由的值定义。即令：由于条件(3)(4)保证了：（尺度方程的频域形式）所以满足定理5.3的条件(b)。综上所证，构成了一个多分辨率分析，且以为正交尺度函数。第11页，共23页，星期日，2025年，2月5日Meyer小波的尺度函数和小波函数第12页，共23页，星期日，2025年，2月5日M