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第十五章轴对称
15.3等腰三角形
15.3.1等腰三角形
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
掌握等腰三角形的性质,会运用性质进行证明和计算.
【过程与方法】
经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.
【情感、态度与价值观】
通过同学间的合作与交流,体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的用途.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.
【教学难点】
等腰三角形性质的探索和应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等。
学生：三角尺、直尺。
六、教学过程
（一）导入新课
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？（出示课件2）
我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形。
（二）探索新知
1.师生互动，探究等腰三角形的性质
教师问1：如图,在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开.找出其中重合的线段和角.（出示课件4）
将找出的重合的线段和角填入下表（出示课件5）
重合的线段
重合的角
学生观察讨论后完成下表
教师问2：观察上表，由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
学生猜想1：等腰三角形的两个底角相等.（出示课件6）
教师问3：如何证明我们的猜想是否正确呢？
师生共同解答如下：
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=∠C.
教师问4：如何证明两个角相等呢？
学生讨论后回答：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
教师问5：这里只有一个三角形，全等三角形需要两个三角形.如何构造两个全等的三角形？
师生共同讨论后解答如下：（出示课件7）
方法一：作底边上的中线.
证明：作底边的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中
AB=AC(已知)，
BD=CD(已作)，
AD=AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
教师问6：还有其他的证法吗？
师生讨论后得到如下答案：（出示课件8）
方法二：作顶角的平分线
证明：作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中
AB=AC(已知),
∠BAD=∠CAD(已作),
AD=AD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
教师问7：由△ABD≌△ACD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？（出示课件9）
学生小组内讨论后得到如下答案：
解：∵△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.
教师总结点拨：（出示课件10）
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(三线合一）.
（出示课件11）
数学语言：如图,在△ABC中,
∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC,BD=CD(已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD,∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
教师问8：画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？（出示课件12）
学生作图如下：
学生作图并且比较后回答：不重合，不具有三线合一的性质.
出示课件13，学生独立思考后解答，教师给出答案.
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.（出示课件14）
师生共同分析如下：
分析：（1）找出图中所有相等的角；∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
△ABC,△ABD,△BCD.
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？（出示课件15）
∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,
∠ABC=∠BDC=2∠A,
∠C=∠BDC=2∠A.
（4）设∠A=x,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来