推理有难度支架来相助
罗永军鲍雯华
【摘??要】在“圆的周长”教学中对于圆周率的推导，多数教材都保留了基于测量操作的归纳推理，而对利用图形关系进行的演绎推理则采取了谨慎的态度，或绕过，或淡化处理。针对这一做法，教师可尝试设置合适的教学支架，让学生自主探索“圆周率”，在比较了图式、文字说明、实物操作等教学支架的作用后，发现实物操作能极大地帮助学生明晰图形关系，从而完成推理过程。在此基础上，通过观察学生活动，提出了实物操作的相关特点，探讨高效课堂教学的方法，为广大教师、教材编者和专家学者提供一个实践样例。
【关键词】演绎推理;教学支架;实物操作
“我不敢保证结果对不对”，在“圆的周长”教学中，一位学生汇报完“圆的周长是直径的3倍多一点”之后，小心翼翼地补充说明。他的发言得到了很多同学的认同：“因为量的时候会有误差。”学生为什么会对结果产生疑问呢？图形中的数量关系不是一个整数，这对小学生来说是第一次遇到，因此有疑问也很自然。是不是因为测量有误差，所以这个倍数才出现了小数？会不会有一些圆，周长正好就是其直径的3倍或4倍呢？
疑问很自然，回应有点难。因为不管我们如何提高测量精度，也只能测量出某一个具体圆的相关数据，无法得到一般性的结论。测量可以发现事实，但要形成普遍规律，还需要“推理”来证实。小学生能完成这个推理过程吗？如果不能独立完成，教师该如何设置教学支架为学生助力呢？
一、数学分析
用小学生能够理解的数学知识可以推理出圆周率在3～4之间，确实是一个小数。
首先，圆周率一定大于3。如图1所示，我们可以在圆内构建一个正多边形，圆内接正多边形。由于每两点之间的弧长大于边长（两点之间线段最短），如[AB][AB]，得出圆周长大于正多边形周长的结论。当圆内接一个正六边形时，如果把顶点连接圆心，就构成了6个等边三角形。因为三角形的边长是圆的半径r，也即正六边形的边长，所以正六边形的周长是6r，即3d，由此可得出圆周长大于3d的结论。
其次，圆周率一定小于4。如图2所示，我们可以在圆外构建外切正多边形，此时，相邻两切点之间的弧长小于折线长，即多边形的边长（如果相等，那么弧与折线将会重合），如[AB][AA]+[AB]。因此，圆的周长小于外切正多边形周长。当圆外切正方形时，正方形边长与圆的直径相等，可得周长是4d，即圆周长小于外切正方形周长4d。
因此，圆的周长一定大于其直径的3倍且小于其直径的4倍，即圆周长与其直径的比值在3～4之间，是个小数。从上面的分析可以看出，证实圆周率是一个小数的关键是需要构建一个圆外切正四边形和一个圆内接正六边形。要想到这一步，对学生来说是一个难点，教材给出了什么教学线索呢？
二、教材分析
在小学，圆周率的学习要求是“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值”[1]。教材是如何体现的呢？我们查阅了人教版、北师大版、苏教版、浙教版和香港现代版等教材，发现教材给出的教学步骤大致有这样几点：①猜测圆周长与其直径长短有关;②测量圆周长及其直径，发现圆周长与其直径的比值（圆周率）是3倍多;③用几何关系推理出圆周率在3～4之间，不是整倍数;④了解数学史，知道圆周率是一个定值。对于以上过程，虽然不同的教材有不同的取舍，但步骤①②④，各套教材都有呈现，差异主要体现在第③步上，具体情况见表1。
从表1可以看出，上述教材的差异集中体现在“推理发现”的处理上。有的教材选择绕过这个难点，如人教版、浙教版教材在“操作”之后直接介绍了圆周率及其相关历史，给出结论：“其实，早就有人研究了周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母[π]表示……”有的提供了圆内接正六边形或圆外切正方形供学生推理分析，如北师大版、苏教版和香港现代版等教材（如图3～5）。不过，这3个版本教材的相关内容在编排的顺序呈现上不尽相同，北师大版教材放在课后练习中;苏教版教材放在操作活动前让学生根据图式对圆周率作估计;香港现代版教材则放在探索活动中，希望教师能如此讲解给学生听。
这个推理分析过程是否有必要呢？我们知道，用测量操作的方法虽然简单易行，但是受测量工具和测量方法所限，无法得到精确的测量结果。何况就算我们有办法得到精确的结果，也无法对所有的圆一一进行测量。因此，终究难以回答诸如“圆周率到底是不是一个固定的小数”“为什么圆周率在3～4之间，一定不是整数”等疑惑。要回答这样的问题，就必须跳出测量的局限，利用图形关系来进行推理分析。更重要的是，逻辑推理作为数学核心素养之一，是学生走向未来的关键能力。在操作阶段，学生已经用“数学的眼光”发现了一些值得关注的事实，形成了一些结论，这就是归纳推理。如果能让学生进一步体验从个例发现到规律证实的演绎推理过程，那么“会用数学的思维思考现实世界”等能力将得到充分的培养。因此，这个推理分析