揭示异同丰富表达
周芳陈芳
【摘??要】“比”的单元整体设计须经历梳理、反思与重构三个步骤。通过梳理，厘清教材中比的意义、比的基本性质与比的应用三个板块的设计思路。通过反思，指出三个板块可以改进的地方，即在学习比的意义时拓展其数学背景;让比的基本性质的学习成为学生联系实际自主发现的过程;用比的应用实现旧题新解。通过重构，把改进之处付诸教学，更好地揭示“比”与“除法”“分数”的异同，丰富“除法”“分数”中关系的表达。
【关键词】揭示异同;丰富表达;“比”的单元整体设计
人教版教材六年级上册“比”这一个单元与“除法”“分数”有着十分密切的联系。但是，比有其自己的特征，比的本质是比较，是两个量之间的一种“倍比”关系。人们也可以通过“连比”整体表示三个量甚至更多量之间的两两“倍比”关系，这是除法与分数含义中所没有的。因此，如何从量与量的比较视角认识“比”？如何从“比”与“比”的比较中发现比的基本性质？怎样更好地体现“比的应用”过程中旧题新解的价值？带着这样的思考，我们进行本单元的整体设计与实践研究。
一、梳理——理清教材的编写思路
人教版教材六年级上册“比”单元安排了比的意义、比的基本性质与比的应用这样三个板块内容。这三个板块的学习均以相关的旧知为基础，即从除法解决问题中的数量关系认识比，从商不变的性质、分数的基本性质类推出比的基本性质，利用“平均分”“分数乘法”的数量关系解决比的应用。
（一）丰富关系表达，引出比的意义
在用除法解决问题时，会形成多种数量关系，主要可以分为两类。一类是两个同类量比较后的数量关系，如长方形的长与宽进行比较，“长÷宽=长是宽的几倍”和“宽÷长=宽是长的几分之几”。另外一类是有联系的两个不同类量之间的比较，如行程问题中“路程÷时间=速度”和“路程÷速度=时间”。学生在解决问题时，往往是通过这样的关系式列出算式，求出结果。“比”则是“不求出结果”，直接表示两个量之间的关系。教材用“有时我们也把这两个数量之间的关系说成……”，把除法表示的数量关系用比重新表示。并且，为了使除法与比的关系更加明显，用“15÷10”表示“长是宽的几倍”;用“10÷15”表示“宽是长的几分之几”;“速度”则直接用“路程÷时间”表示。最后结合具体例子，直接抽象出比的意义：两个数的比表示两个数相除。
（二）构建新旧联系，推导比的基本性质
教师可以把学习比的基本性质与应用比的基本性质分成两个层次，即首先通过与商不变性质的比较推导出比的基本性质，再结合具体情境，在解决实际问题的过程中学习比的化简。
很显然，“比的基本性质”与“商不变的性质”“分数的基本性质”有着密切的联系。教材紧紧围绕这种联系，通过在比的意义学习之后的“做一做”的第3题提出问题：“你还记得商不变的规律和分数的基本性质吗？”让学生带着问题进行回忆，接着再依据除法与比的关系，通过具体例子，概括出比的基本性质。在此基础上，教材直接指出：“用比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。”教师要求学生分别化简上一节课中的联合国旗帜与另外一面更大的联合国旗帜的长与宽的比，总结整数比的化简方法，结合具体例子，进一步总结分数或小数比的化简方法。
（三）解决实际问题，学习比的应用
这里指的“比的应用”可以称为“按比分配解决问题”，这一类问题与“和倍问题”的实质是相同的。在这里要依据比的含义或转化成分数乘法的数量关系解决问题。教材将“比的应用”分成三个层次。第一个层次如例2，已知两个量的比与总量，求这两个量，这是比的应用的基本形式。第二个层次是如练习十二的第2题，学生需要自己依据信息提炼出比，再把总量按比分配。第三个层次则是连比解决问题，如练习十二第4题和第10题这样两类，分别对应于已知连比与需要创造连比后，再按比分配解决问题。
在分析其数量关系时，我们发现，“按比分配解决问题”也是一类“平均分”的问题，并且可以使原来的平均分更加公平合理。如练习十二第4题，如果按照班级平均分，人数多与少的班级分到的任务相同，而按人数分配，人数少的班级就可以承担较少任务。
通过梳理可以发现，“比”虽然是一个只有三节新授课的小单元，但是却包含了概念学习、规律探究与解决问题三种课型，它们既相互独立，又有着密切联系。在形成“比的意义”的过程中，渗透着“比的基本性质”;“比的应用”则是对“比的意义”的再认识。
二、反思——发现可以改进之处
通过梳理可以发现，教材十分重视从除法的视角学习比。但是，从比的认识背景、比的基本性质的揭示、比的应用中的旧知新解等方面均可以做进一步改进。
（一）拓展数学背景，揭示比的本质
“比”既是数学术语，也是日常用语。从日常用语的视角，“比”即“比较”，与除法有联系，还与“减法”有关系。在之前的学习中，两个同类量进行比较，除了表示除法关系的“几倍”与“几分之几”之外，还有表示相差关系的“