基于演绎推理的分数除以整数学习路径研究
巩子坤张希张丹邵汉民
【摘??要】结合实践探索了基于演绎推理的分数除以整数学习路径，即通过概念、等式的基本性质推演分数除法的算理。学习路径由以下四个任务构成：[45]÷2→[45]÷3→[45]÷c→[ab]÷c。通过对比实验，实验班学生能更好地掌握分数除法算理，该路径具有可行性。据此提出以下建议：（1）教材编写可以参考该路径。（2）教学时，要凸显演绎推理的必要性与一般性，解决“为何要演绎推理”的问题;理清每一推理步骤的逻辑关系，解决“如何演绎推理”的问题;注重培养学生的演绎推理能力与符号意识。
【关键词】演绎推理;分数除以整数;算理;学习路径
分数除法是学生学习、教师教学的一大难点。研究表明，大部分学生对分数除法的算法掌握得很好[1]，却不明白分数除法为什么要“颠倒相乘”，即对算理的理解较为欠缺[2]。为此，很多学者展开了分数除法算理教学的研究。LiChen[3]认为可以类比整数除法学习分数除法算理，并借助直观表征（方格图、线段图等）进行说理。但类比推理存在一定的局限性，且直观表征存在必然缺陷。可见，分数除法算理教学的困难亟待解决。
逻辑推理一般分为演绎推理和合情推理。史宁中教授认为数学发展主要依赖的就是逻辑推理，正是有了逻辑推理，才形成了数学的严谨性，逻辑推理应当贯穿数学教育的全过程[4]。然而，小学数学教材存在“偏重合情推理、淡化演绎推理”的现象，这虽然符合儿童认识世界的基本规律，但不利于全面培养学生的逻辑推理素养。因此，探索如何在小学数学教学中渗透演绎推理具有一定的理论价值，也是改善小学数学教学，提升学生核心素养的必然趋势。史宁中教授认为所有的除法与乘法都是贯通的，提出了基于演绎推理的分数除法算理[5]，为本研究提供了依据。
学习路径是学生对核心概念的理解由简单到复杂、由低级到高级的思维过程的描述，不仅能促进学生思维水平的提升，还可以为教材修订、教学设计提供指导[6][7]。本研究以学习路径为工具，旨在探索一条有利于学生理解的基于演绎推理的分数除法学习路径。分数除法可分为“分数除以整数”和“一个数除以分数”，本文主要研究“分数除以整数”。
具体而言，探查以下问题：（1）基于演绎推理的分数除以整数学习路径是什么？（2）基于演绎推理的分数除以整数学习路径可行吗？
二、研究设计
（一）研究对象
本研究选取杭州市XH小学六年级甲、乙班作为实验班，按照本研究所设计的学习路径教学;选取同一学校平行班丙、丁班作为对照班，按照教材中的分数除法学习路径教学。
（二）研究步骤
整个研究主要包括“预备课、初构的学习路径A1、优化的学习路径A2”等基本步骤（如图1）。
（三）理论支撑
1.基于演绎推理的分数除法算理
以[15÷2]为例，将商设为“？”，得到[15÷2=]？;根据“除法是乘法的逆运算”，得到？×2[=15];根据“等式的基本性质”，等号两边同乘[12]，得到？[×2×12=15×12];根据“乘法结合律”并化简，得到？[=15×12];根据“等式的传递性”，得到[15÷2=15×12]。
这就是基于演绎推理，将分数除法转化为分数乘法。虽然学生已经学过演绎推理所需的知识，但他们掌握得还不够扎实。为此，教师先在实验班上预备课，复习必要的前提知识。
2.表征方式
表征方式，是指通过某种类型的表达方式来说明算理。在分数除法教学中，有以下表征方式（如表1[8]）：
（四）问卷及数据处理
实验班后测例题如下：
先计算[45÷6=]，再用推一推的方法来说明你的计算结果是合理的。
对照班后测例题如下：
把一张纸的[45]平均分成6份，每份是这张纸的几分之几？用画图、文字解释等方法来说明你的计算结果是合理的。
测试后对问卷进行赋分，计算正确得1分，说理正确得3分，满分4分。
三、研究结果与分析
（一）预备课和前测
在甲、乙班教学预备课，教学后对学生进行测试，这也是整个实验的前测。发现两班总得分率（92.22%和91.35%）较高，说明大部分学生已掌握这些知识。对平均得分进行独立样本[t]检验，结果显示，甲、乙班得分（[t]=1.859，[P]=0.069）不存在显著性差异，这能有效减小后續研究的误差。综上，基于演绎推理的分数除法教学实验能够在甲、乙班开展。
（二）分数除以整数的学习路径：初构
1.路径呈现
初构的分数除以整数的学习路径如图2所示。
任务一借助直观表征“画一画”，用被除数的分子除以除数即可解决。
任务二中被除数的分子不能被除数除尽，此时可以借助直观表征进行求解。与此同时，教师引入形式表征“推一推”，即演绎推理来解释算理。
任务三符号化。当出现字母[c]时，直观表征失去优势，从而凸显形式表征的优越性。教师询问学生：[c]可以代表哪些数？任务三可以得到什么结论？在此过程中，学生逐渐