关注模型建构凸显深度学习
【摘??要】小学数学教学不但要关注学生数学知识的习得，而且要关注学生数学思想方法的培育。模型思想是重要的数学思想方法之一。学生经历数学模型的建构过程，可以深度理解数学知识，发展和提高思维能力。以“归一问题、归总问题”的教学为例，教师可通过建构指向图式表征的图式模型、指向思维表达的思维模型和指向知识建构的知识模型，帮助学生加深对数学问题本质的理解，进而感悟模型思想，提升数学素养。
【关键词】数学模型;深度学习;图式模型;思维模型;知识模型
一、理性思考
建模是数学核心素养中十分重要的组成部分，通过建立模型解决问题，感悟模型思想，是学生体会数学与生活联系的有效途径，建立模型也是数学应用和解决问题的核心。以“归一问题、归总问题”的教学为例，笔者进行了如下思考。
（一）基于图式模型：抽象→可视
图式模型就是将问题提供的信息用图式表征出来并在脑中进行建构的数学模型。根据小学生年龄和思维的特点，他们在认识概念、解决问题等数学学习中都离不开直观图像的支撑，而形象的“图式”就发挥着不可估量的作用。在教学中可以从图式表征入手，帮助学生在“抽象”和“可视”之间架起桥梁，以便更清晰地表明数量之间的关系，从而建构问题的模型。
（二）基于思维模型：粗浅→深刻
思维模型就是由形象的符号、图形和结构化语言等要素组成的可视化模型。数学深度学习特别强调把握数学本质，而清晰的思维过程是数学模型建构中最核心的部分，所以应引导学生在图式表征的基础之上，揭示图式背后隐含的思维路径，以形成解决问题的思维模型。在教学中以思辨为支点，深度剖析问题的特征，帮助学生从本质上理解问题的内部结构，由此达到融会贯通的目的。
（三）基于知识模型：分散→结构
知识模型就是将知识进行形式化和结构化抽象建构的数学模型。在数学知识体系中，各个知识点之间既有相对独立性，又有相互关联性。教师要有意识地引导学生从多个维度对所学知识进行比较和整理，了解它与前后知识点之间的联系与区别，使分散的知识点在脑海中连成线、结成网，建构完整的知识模型，形成整体性知识结构。
二、实践研究
笔者以“归一问题、归总问题”的教学为例，从建构指向图式表征的图式模型、指向思维表达的思维模型和指向知识建构的知识模型三个方面探讨如何帮助学生加深对“归一问题、归总问题”本质的理解，感悟模型思想，提升数学素养。
（一）聚焦图式模型：多元化表征，凸显图式结构
图式表征是指学生在阅读文字材料的基础上，根据问题所提供的条件和自身已具备的知识经验，将抽象的数学概念、数学规律、较复杂的数量关系等通过清晰的图式表示出来，从而对数学知识有比较形象、直观、整体的认识和理解。结构化的图式，凸显了数学模型的形式化意义，它能直观地表示题意，有序地表示数量之间的关系，从而引导学生逐步形成解题的策略。
1.示意图过渡到线段图，助力结构清晰化
小学阶段的学生已经具备了一定的图式表征能力。在数学问题的图式表征中，主要涉及示意图、线段图两大类。相对而言，学生关于示意图的生活经验更为丰富，所以大多数学生会选择用简单的示意图来表征题意。但其实在“倍的认识”的教学中学生对线段图已经有了一定的接触和了解，因此在“归一问题”的教学中可以顺势借助迁移能力将示意图逐步过渡到线段图。
在“归一问题”的教学中，教师呈现例题：“妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，要用多少钱？”（人教版教材三年级上册第71页例8）让学生画图表征题意，学生主要呈现了以下几种情况（如图1）。
反馈时，教师组织学生先对前三幅图进行评价，明确画图要完整，表示题意不能遗漏信息或问题。再着重观察后两幅图，探讨从“同样的碗”中怎样提取、归纳共同的特点，即每只碗的单价不变。在归纳的基础之上，引导学生的理解从示意图表征法过渡到线段图表征法，并建立线段图与示意图、文字、算式之间的联系，明确碗的单价不变，在线段图中要用等长的线段表示，逐步清晰并构建归一问题的图式模型（如图2）。
从示意图逐步过渡到线段图，不仅发展了学生用图式表征题意的能力，也为下一课时“归总问题”的学习积累了丰富的经验，促使数学模型结构更清晰地呈现。
2.一维图延伸至二维图，促进表征多元化
用线段图表征帮助学生把抽象的文字变成直观的图式，使他们的思维过程有了形象的外显。但是，单一的图式表征会限制学生对模型的理解和更深層次的建构。因此，在后续的学习中可以进行图式的多元表征，从一维的线段图延伸到二维的几何图，来实现空间上不同维度的思考，让学生在多元表征中完成对问题的直观原型的理解，加深对模型的感悟。
在“归总问题”教学中，主要也以线段图进行表征。教师呈现例题：“妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个。用这些钱买9元一个的碗，可以买几个？”（人教版教材三年级上册第72页例9）着重解读“这些钱”的含义，把关注点聚焦到“怎样用线