如何理解“数量关系”
吕港丽郜舒竹
【摘??要】数量关系是数学课程中的重要内容之一，基于文献考察，解读数与量及数量关系的内涵，可知数量关系是学生通过定量运算在头脑中建构的關于量之间的关系结构，而数是用来计算量的值的工具。从量的角度认识和思考世界对学生发展意义重大，定量推理不仅是有效解决问题的一种方法，更是一种思维方式，通过关注数学问题中的量及量的关系，学生能够深刻地理解问题的本质，发展数学理解和推理的能力。在数量关系的教学中，教师应引导学生正确识别情境中的量，并通过定量运算构建定量关系，从而发展定量推理的能力。
【关键词】数量关系;问题解决;定量推理
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）在第二学段（3～4年级）数量关系部分明确提出“在具体情境中，认识常见数量关系……总价=单价×数量、路程=速度×时间;能利用这些关系解决简单的实际问题”，并在对数感的定义中提到“数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟……建立数感有助于理解数的意义和数量关系”。根据《课程标准》的描述可知，数量关系是数学课程中的重要内容之一，并且与数感、问题解决息息相关。在实际教学中，学生在解决问题时，往往会在理解题意和分析数量关系上存在困难，那么数量关系应如何理解？学生该如何学习数量关系？
一、数量关系的基本内涵
“数量”一词的广泛使用，容易让人将数与量的意义混淆，对数量关系认识模糊。早在17世纪，德国著名哲学家莱布尼茨（Leibniz）就对数与量的概念进行了区分，他指出量（quantity）是物质的属性，体现某种度量（measurement）的可能性，而数（number）是由度量产生的结果。因此，度量搭建了量与数之间的桥梁，度量一个量时是将其与单位（unit）进行比较，而度量的结果用数来表示。[1]英国哲学家罗素（Russell）将量分为广延量（extensivequantity）与强度量（intensivequantity），其中可以直接度量的量称为广延量，如长度、高度等，但并非所有的量都可以直接度量，那些无法直接度量的量称为强度量，如温度、速度等。[2]汤普森（Thompson）指出广延量可以用绝对单位来度量，绝对单位本身是与被度量的广延量同类的量，而强度量只能用相对构造的单位来度量，即强度量的单位来源于人心智的生成，如速度的单位是路程与时间的比率（rate），是人创造出来的。[3]
强度量的单位是两个不同类量的比率，这是一种心理操作，属于定量运算（quantitativeoperation）。定量运算是指人利用已知的量设想出新的量，是一种概念运算，与对情境的理解有关，其中加法比较两个量会产生差（difference），例如身高差。乘法比较两个量会产生比（ratio）或比率（rate），例如速度。定量运算是一种基于量的心理活动，来源于人的自身经验，例如将两个量相加来源于将部分组成整体和将整体分开形成部分的经验，而将两个量相乘来源于以分配（share）为目的的匹配（match）与细分（subdivide）的经验。[4]定量运算区别于算术运算，算术运算是用于计算量的值的数值运算，而定量运算是对一个量如何存在的描述，定量运算与在给定情境下实际用于计算量的值的算术运算之间没有直接的对应关系。例如小明比小红高15厘米，他们的身高差比跳跳和淘气的身高差要大5倍，那么跳跳和淘气的身高差是多少？解答：15÷5=3（厘米），在这种情况下，除法用于计算差值，尽管差值通常意味着减去。每一次定量运算都建立了一种关系：用于定量运算的已知量与运算产生的新的量之间的关系。例如，将“这个班的女生人数”和“这个班的男生人数”进行乘法比较，得到“女生人数与男生人数的比”，这三个相互关联的量就构成了一个定量关系（quantitativerelationships），定量关系是三个量的概念，其中两个量通过定量运算确定第三个量。在算术关系中，三个相关数中任意两个都可以决定第三个数，而如果一个量被认为是由另外两个量通过定量运算产生的，那么它们之间的关系是不能改变的。
综上所述，明确数量关系的内涵，首先要明晰数与量之间的区别与联系，根据莱布尼茨的说法，量是物质的属性，而数是用来描述量的语言工具。人类通过度量来认识量，而那些无法直接度量的量则通过心理上的定量运算对其概念化，并建构相互关联的量之间的关系结构。因此，数量关系更准确地说是量之间的关系，而数是用来计算量的值的工具，公式则是描述计算量的值的算术方法的表达式。学生对情境的理解是通过构建定量关系的网络来建立的，可见数量关系并非知识性的公式，而是学生在头脑中建构的关于量之间的关系结构，具有过程性和创造性，并且离不开学生的自身经验。
二、定量推理
数量关系通常与数学问题紧密联系，一个数学问题一般可以