6应用一元二次方程
第1课时应用一元二次方程求解几何问题
教师备课素材示例
●情景导入我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，已与近代的解法相似．
下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步).只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．答：阔二十四步，长三十六步．”这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决上面的问题吗？
【教学与建议】教学：用古代文献导入课题，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的模型．
●类比导入小明把一张边长为20cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．
(1)如果要求长方体的底面面积为256cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
长方体底面积
256
196
144
100
64
36
16
4
正方形边长
2
3
4
5
6
7
8
9
长方体体积
512
588
576
500
384
252
128
36
【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于我们的生活．
命题角度1列一元二次方程解决等积变形问题
在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：①图形面积不变，周长变了；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积．找出题中的等量关系，列出方程．
【例1】(1)直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为(B)
A．eq\r(37)B．5C．eq\r(38)D．7
(2)从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为__64__cm2__．
命题角度2列一元二次方程解决存在性问题
列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先根据题意列出方程再根据根的判别式判断是否存在．
【例2】用长为35m的篱笆围一个矩形养鸡场，如图，一边靠墙(墙足够长)，另三边用篱笆围成．设围成的矩形与墙平行的一边长为xm，面积为ym2.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为150m2?
(3)能否围成面积为160m2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
解：(1)y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(35,2)x；(2)20或15；(3)不能，理由略．
命题角度3列一元二次方程解决几何动点问题
解决动点问题的关键是根据动点运动时的起点和终点等条件列出方程．
【例3】如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的eq\f(1,9)？
解：设经过ts，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的eq\f(1,9).
由题意，得AM＝tcm，AN＝(6－2t)cm，
由△AMN的面积公式，得eq\f(1,2)AN·AM＝eq\f(1,9)AD·AB，eq\f(1,2)t·(6－2t)＝eq\f(1,9)×3×6，
整理，得t2－3t＋2＝0，解得t1＝2，t2＝1.
答：经过1s或2s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的eq\f(1,9).
命题角度4列一元二次方程解决阅读理解问题
阅读理解问题是给出一些材料，让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识，用于解决后面的问题．
【例4】(凉山州中考)试验与探究：
三角点阵中前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点．
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．你能发现300是前多少行的点数和吗？如果用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋…＋23＋24＝300，得知300是前24行的点数和，但是这样寻找答案需要花费较多时间，能否更简捷地得出结果呢？
我们先探究三角点阵中前n行的点数和与n的数量关系．
前n行的点数和是1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n.可以发现：
2×[1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＋[n＋(n