第六讲微分方程模型第1页，共27页，星期日，2025年，2月5日§3.1小船行走路线问题§3.2单种群模型与人口问题§3.3交通管理中的黄灯问题附：数学建模常用软件简介第2页，共27页，星期日，2025年，2月5日0图3.1.1§3.1小船行走路线问题一小船从河边某点驶向对岸码头,若考虑水的流速影响,船行走的路线如何?如图3.1.1建立坐标系问题(1)水流方向为y轴正向，速度大小为a;模型假设(2)船在A处,轮船匀速行驶,速度为b,为了到达码头,总是朝向码头O前进；(3)船行走的路线为(4)河宽为l米.第3页，共27页，星期日，2025年，2月5日在曲线y=y(x)上任取一点P(x,y),因为水流方向为y轴正向，大小为a,所以水流速度向量0图3.1.1划船方向指向原点O(0,0)，大小为b.模型建立划船速度向量；水流速度向量；船行速度向量第4页，共27页，星期日，2025年，2月5日所以划船速度向量因此船行速度向量0图3.1.1第5页，共27页，星期日，2025年，2月5日(1)由船行速度向量的方向为船行路线的切线方向，所以有或0图3.1.1于是我们的问题是求上述方程满足条件的解.（2）第6页，共27页，星期日，2025年，2月5日由，可求出任意常数.方程(1)是齐次方程，由齐次方程解法得模型求解（*）此外,有（**）(1)第7页，共27页，星期日，2025年，2月5日当x=0时确有y=0，故小船一定能到达码头.思考：这条路线是最优路线吗？若不是，考虑最优路线．应以时间最短为标准.最佳路线应是O到A的直线.由(*)、(**)可解出第8页，共27页，星期日，2025年，2月5日动植物种群本身是离散变量，谈不到可微性，但由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假设大规模种群随时间是连续地甚至是可微地在变化，进而可以引用微分方程这一数学工具来研究.§3.2单种群模型与人口问题模型1Malthus模型这个模型的基本假设：在人口自然增长过程中，人口的净增长率为常数,即单位时间内人口增量与当时的人口总量成正比.英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus,1766—1834)于1798年提出了著名的人口指数增长模型．第9页，共27页，星期日，2025年，2月5日根据Malthus的假设,在t到t+△t时间内人口的增长量为设时刻t的人口数为p(t),t=t0时的人口数为p0,人口增长率为r如何建立Malthus的数学模型呢?令△t→0,p(t)满足方程（3）第10页，共27页，星期日，2025年，2月5日这个问题的解为(3)是一个线性微分方程，称为Malthus模型.模型中的参数p0,r可用所给数据用最小二乘法拟合得到（第六章讨论）．如果r0，上式表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当t→+∞时,p(t)→+∞,这似乎不太可能．另外，此模型虽然与十九世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合．但是当人们用十九世纪以后许多国家的人口统计资料与Malthus模型比较时，却发现了很大的差异．附录列出了美国十九世纪、二十世纪的人口统计数据与这个模型比较的结果．第11页，共27页，星期日，2025年，2月5日用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引起误差的原因是10年增长率估计过高．按照附录中第2列给出的实际人口可以算出，19世纪100年和20世纪前80年的10年增长率分别为0.266和0.137，远小于1790到1800年的增长率0.307．这个事实对r是常数的基本假设提出了异议.产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增加的抑制作用越来越显著，如果人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后,增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少.许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点.我们不妨利用附录第2列给出的数据计算一下美国人口每10年的增长率,可以知道大致是逐渐下降的.第12页，共27页，星期日，2025年，2月5日将增长率r表示为人口p(t)的函数r(p),按照前面的分析,r(p)是p的减函数.一个最简单的假定是：设r(p)是p