*第1页，共24页，星期日，2025年，2月5日集合的运算以给定的集合为对象,按照确定的规则得到另一些集合。集合的另一种表示法是文氏图（VennDiagram）。人们常用文氏图描述集合运算和它们之间的关系。集合的文氏图画法如下：用矩形表示全集E，在矩形中画一些圆表示其它集合，不同的圆代表不同的集合。如果没有特别说明，任何两个圆彼此相交。例如，A?B的文氏图如图*第2页，共24页，星期日，2025年，2月5日一、交P87定义3-2.1设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的交集，记为A∩B。A∩B=?x|x?A∧x?B?交集的定义如图右图所示。从交集的定义可以得到：A∩B?A，A∩B?B例1例2例3及性质P87*如果A与B无公共元素，即A∩B=?，则称A和B是互不相交的。例如，令A=?a,b,c?，B=?d,e?，则A∩B=?，A和B是互不相交的。*第3页，共24页，星期日，2025年，2月5日一、并P88定义3-2.2设A，B是任意的集合，由A中的元素或B中的元素组成的集合，称为A和B的并集，记为A∪B。A∪B=?x|x?A∨x?B?并集的定义如右图所示。并集的定义可以得到：A?A∪B，B?A∪BP88例题集合并运算性质定理3-2.13-2.2*第4页，共24页，星期日，2025年，2月5日三、补（差）P90定义3-2.3设A，B是集合，属于A的而不属于B的元素组成的集合，称为B对于A的补集，也叫B对于A的相对补集。记为A-B。A-B=?x|x?A∧x?B?A-B也称集合A和B的差相对补集定义如右图所示。例如，令A=??,????，B=?，则A-B=??,????-?=??,????又如，令C=?a?，D=?a,b?，则C-D=?a?-?a,b?=?C-C=?P90例题3、4*第5页，共24页，星期日，2025年，2月5日四、绝对补定义3-2.4设A是集合，A对于全集E的相对补集，称为A的绝对补，记为~A。~A=E-A=?x|x?E∧x?A?=?x|x?A?~A的定义如图所示。例如，令全集E=?1,2,3,4?，A=?1,2,3?，则~A=?1,2,3,4?-?1,2,3?=?4?P90绝对补运算性质*第6页，共24页，星期日，2025年，2月5日四、绝对补例设A,B是任意的集合，求证:A-B=A∩(~B)证明：x?A-B?x?A∧x?B?x?A∧x?~B?x?A∩~B即A-B?A∩~B。x?A∩~B?x?A∧x?~B?x?A∧x?B?x?A-B故A∩~B?A-B所以，A-B=A∩(~B)。A-B=A∩(~B)是一个重要的公式，在集合的运算中经常用到，它的意义在于将相对补运算转换绝对补和交运算。P91定理3-2.5设A、B为任意两个集合，则下列关系式成立：a)A-B=A∩~Bb)A-B=A-(A∩B)P91定理3-2.6交运算对差运算的分配P91定理3-2.7*第7页，共24页，星期日，2025年，2月5日五、对称差P92定义3-2.5设A，B是集合，由A中元素或B中元素，但不是A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的对称差，记为A?B。A?B=?x|x?Ax?B?=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)A?B的定义如图所示。例如，令A=?1,2,3,4?，B=?1,2,5,6?，则A?B=A∪B-A∩B=?1,2,3,4,5,6?-?1,2?=?3,4,5,6?*第8页，共24页，星期日，2025年，2月5日五、对称差例设A,B是任意的集合，求证:A?B=(A-B)∪(B-A)=(A∩~B)∪(B∩~A)。证明：