第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日 复回归分析，也就是多元线性回归分析，讨论应变量或回归子Y，依赖于两个或更多个解释变量或回归元的模型。 本章主要讨论有两个解释变量的情形。?§7.1三变量模型：符号与假定三变量的PRF为：（7.1.1）其中是截距项，表示所有未包含到模型中来的变量对Y的平均影响。和被称为偏回归系数（partialregressioncoefficients）。第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日在经典线性回归模型（CLRM）的框架下，我们对（7.1.1）作如下假定：ui的均值为零，即：对每一个i（7.1.2）无序列相关：（7.1.3）同方差性：（7.1.4）ui与每一个X变量之间都有零协方差：（7.1.5）第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日其实，只要X2和X3是非随机的，并且有（7.1.2）成立，则这个假定就自动得到满足。无设定偏误，或：模型被正确地设定（7.1.6）X诸变量间无精确的共线性，或X2与X3之间无精确的线性关系（7.1.7）（NoexactlinearrelationshipbetweenX2andX3）另外，还假定：多元线性回归模型对参数而言是线性的；回归元的值在重复抽样中是被固定的，以及回归元的取值有足够的变异性（variability）。第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日（7.1.7）式要求X2和X3之间无精确的线性关系，用专业术语讲就是无共线性（nocollinearity）或无多重共线性（nomulticollinearity）。简单地说，就是没有一个解释变量可以写成其余解释变量的线性组合。从数学上看，无共线性的含义是，不存在一组不全为零的和，使得：（7.1.8）如果这一关系式存在，则说明X2和X3是共线的（collinear）或线性相关的（linearlydependent）。如果（7.1.8）式仅当时成立，则说X2和X3是线性独立的。第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日如果，这会不会破坏无共线性的假定呢？不会，因为这里的两个变量的关系是非线性的，并不违背回归元之间没有精确线性关系的要求。在极端情形下，如果X2和X3存在准确的线性关系，比如，则独立的解释变量实际上只有一个，而不是两个了：?第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日§7.2对多元线性回归方程的解释把（7.1.1）的两边对Y求条件期望得：（7.2.1）可见，复回归分析是以多个解释变量的固定值为条件的回归分析。我们所获得的，是各个自变量X值固定时，Y的平均值或Y的平均响应（meanresponse）。??§7.3偏回归系数的含义偏回归系数的含义：度量着在保持X3不变的情况下，X2每变化1个单位时，Y的均值的变化。换一句话说，给出X2的单位变化对Y均值的“直接”或“净”影响（净在不染有X3的影响）。则给出了X3的单位变化对Y均值的“直接”或“净”影响，净在不沾有X2的影响。第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日如何分离出X2对Y的“真实”或净影响呢？第一步：Y仅对X3回归：（7.3.1）其中是样本残差项，b