常用的矢量恒等式*第31页，共44页，星期日，2025年，2月5日*第1页，共44页，星期日，2025年，2月5日矢量分析矢量和标量矢量代数标量场的梯度矢量场的散度拉普拉斯算子矢量恒等式*第2页，共44页，星期日，2025年，2月5日矢量和标量1.标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、电场等如：温度T、长度L等*第3页，共44页，星期日，2025年，2月5日例：在直角坐标系中，x方向的大小为6的矢量如何表示？图示法：力的图示法：*第4页，共44页，星期日，2025年，2月5日矢量代数1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：*第5页，共44页，星期日，2025年，2月5日三个方向的单位矢量用表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：*第6页，共44页，星期日，2025年，2月5日矢量：?模的计算：?单位矢量：?方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：*第7页，共44页，星期日，2025年，2月5日2.减法：换成加法运算逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。*第8页，共44页，星期日，2025年，2月5日3.乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：?两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。*第9页，共44页，星期日，2025年，2月5日在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。*第10页，共44页，星期日，2025年，2月5日推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。*第11页，共44页，星期日，2025年，2月5日在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo*第12页，共44页，星期日，2025年，2月5日（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：
标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。*第13页，共44页，星期日，2025年，2月5日注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：*第14页，共44页，星期日，2025年，2月5日例2：解：则：设求：中的标量a、b、c。*第15页，共44页，星期日，2025年，2月5日例3：已知解：已知所得矢量垂直于、所在平面。求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。*第16页，共44页，星期日，2025年，2月5日已知A点和B点对于原点的位置矢量为和求：通过A点和B点的直线方程。例4：其中：k为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置矢量为，则*第17页，共44页，星期日，2025年，2月5日标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。以温度场为例：热源等温面*第18页，共44页，星期日，2025年，2月5日b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：2.标量场的梯