4.1正弦和余弦第1课时正弦

学习目标1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变).(重点)2.能根据正弦概念正确进行计算.(重点、难点)

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？30°情境引入ABC

做一做画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等(精确到0.01).?一、正弦的概念

如图，(1)和(2)分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A=∠A′=65°，∠C=∠C′=90°.ACB65°B′A′C′65°小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：?

B′A′C′65°小明量出∠A′的对边B′C′=3cm，斜边A′B′=3.3cm，算出：?由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于.?这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？

探究如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？αABCαDFE?解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF.

∴

即BC·DE=AB·EF，??这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα，即α斜边对边?根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到?

从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？35m?合作探究

ABC30°35m如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.即∴AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备70m长的水管.如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？?

例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值.ABC53解：(1)∠A的对边BC=3，斜边AB=5，于是因此于是AC=4.(2)∠B的对边是AC，根据勾股定理，得AC2=AB2–BC2=52–32=16典例精析

sinA=()sinA=()1.判断对错A10m6mBC√×sinB=()×sinA=0.6m()×sinB=0.8m()√练一练

2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值()A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C

3、如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于()OxyP(a，b)αA.B.C.D.D方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.

如图，