阿基米德折弦定理

1．（2025?成都自主招生）在中，顺次连接、、．

（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；

（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，，，则、、有何数量关系？

（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？

2．（2024秋?丰泽区校级期末）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．

（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

证明：如图2，在上截取，

连接，，和．

是的中点，

，

．

（2）如图