第1页，共27页，星期日，2025年，2月5日问题的表达形式设受控过程由连续时间模型描述对于非时变系统，采样系统模型描述为：其中v和e是离散时间高斯白噪声过程，其均值为零，且(11.3)第2页，共27页，星期日，2025年，2月5日性能准则我们用的设计准则是一种对状态和控制信号的幅值进行加权的方法。一种性能准则可以选为状态的功率，即：状态分量可以有不同的维数，因此可以用更一般的加权形式来代替上式：其中，Q1c是对称半正定矩阵。对中止时刻的控制信号和状态可以用类似的惩罚方法，由此形成了这样一个控制问题，控制的目的是使损失函数：第3页，共27页，星期日，2025年，2月5日为最小，其中：矩阵Q0c、Q1c和Q2c是对称的并且至少是半正定的。损失函数中的这些矩阵可能与时间有关。(11.4)第4页，共27页，星期日，2025年，2月5日采样损失函数损失函数(11.4)式是以连续时间形式表示的。先要把它转变为离散时间损失函数。在长度为h的区间上对(11.4)式积分，得出：其中：把(11.2)式代入(11.5)式，再考虑到每个采样周期内u(t)为常数就得到：(11.5)第5页，共27页，星期日，2025年，2月5日其中：于是，当u(k)在采样周期内为常值时，使损失函数(11.4)式为最小就等同于使下列离散时间损失函数为最小：(11.6)(11.7)(11.8)(11.9)(11.10)第6页，共27页，星期日，2025年，2月5日配方设损失函数的形式为：存在一个L满足：使得损失函数(11.11)式可以写成：将(11.12)式代入到(11.13)式中可以很容易地证明这点。将(11.13)式称为配方。由于(11.13)式是u的二次型，而且两项均大于或等于零，因此可以容易的看出(11.11)式在u=-Lx时取最小值，而且如果Qu是正定的，L就是唯一的。最小值为：(11.11)(11.12)(11.13)(11.14)(11.15)第7页，共27页，星期日，2025年，2月5日11.2线性二次型控制11.2.1确定性情况对于确定性系统，可表示为：(11.13)最优性原理表明，一个最优化策略具有如下性质：无论初始状态和初始决策怎样，相对于从第一次决策导出的状态而言余下的决策一定是最优的。根据这一思想，从终止时刻N开始按逆时间顺序往前推，有可能确定最后一步的最佳控制律，即向后迭代至初始时刻就可以确定出最优控制律。这一过程叫做动态规划，或叫贝尔曼动态规划。第8页，共27页，星期日，2025年，2月5日定理11.1确定性系统的LQ控制考虑系统(11.16)式。允许u(k)是x(k),x(k-1),…的函数。引入：其终端条件为S(N)=Q0。假设Q0是正半定的，是正定的，则存在一个惟一的允许控制策略：u(k)=-L(k)x(k)其中：使损失函数(11.9)式取最小值。此最小值为：另外，S(k)是正半定的。第9页，共27页，星期日，2025年，2月5日证：采用动态规划证明此定理对于k=N，有：其中：对于k=N-1，有：第10页，共27页，星期日，2025年，2月5日基于配方法则：得最小损失：其中：第11页，共27页，星期日，2025年，2月5日离散时间黎卡提方程假定黎卡提方程(11.17)在区间内有一个非负定的解，那么可得：第12页，共27页，星期日，2025年，2月5日其中，L(k)由(11.19)式定义，且x(k+1)由(11.3)式给出第13页，共27页，星期日，2025年，2月5日例11.1双重积分器的LQ控制考虑双重积分器(参阅例A.1)，并取采样周期h=1。设(11.9)式中的加权矩阵为：现在可以研究权重的影响。针对不同的ρ值算出了平稳反馈向量。图11.2展示出一些值的状态和控制信号。ρ＝0时表示仅惩罚输出，这时得到的控制器与4.3节的有限拍控制器相同。当ρ增加时，控制信号的幅度就减少。图11.3表示出作为控制加权ρ的函数的平稳L向量。当ρ增大时，增益趋近于零且几乎没有反馈。第14页，共27页，星期日，2025年，2月5日例11.2