第4章相交线和平行线
4．1相交线
4．1.1对顶角
【学习目标】
1．让学生理解邻补角与对顶角的概念，能在图形中识别邻补角与对顶角．
2．让学生掌握对顶角相等的性质和推导过程．
3．培养学生的识图能力和识图技巧，增强学生学习数学的信心．
【学习重点】
对顶角的概念和性质．
【学习难点】
对顶角相等的推导过程和简单的应用．
问题：我们已经知道，两条直线相交，只有__1__个交点．如图，直线AB与直线CD相交，交点为O，可以说成__“直线AB、CD相交于点O”__，一共有__4__个角．这几个角又有什么样的关系呢？
这就是这节课我们要研究的内容．
知识模块一对顶角的定义
阅读教材P170～P171例1之前的部分，完成下面的内容．
如图，两条直线AB、CD相交于点O，则有：
归纳：(1)相邻的两个角__互补__，不相邻的两个角的两边__互为反向延长线__；
(2)在两个角中，有一个__公共顶点__，且其中一个角的两边分别是另一个角的__两边的反向延长线__，那么这两个角叫做对顶角．
范例：下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(C)
eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))
仿例：下列判断：①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②如果两个角有公共端点，那么这两个角一定不是对顶角；③如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角；④如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．其中，正确的有(B)
A．0个B．1个C．2个D．3个
变例：如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是(C)
A．∠AOF和∠DOEB．∠EOF和∠BOE
C．∠BOC和∠AODD．∠COF和∠BOD
知识模块二对顶角的性质
阅读教材P171例1，完成下面的内容．
如图，两条直线AB、CD相交于点O，求证：∠AOC＝∠BOD.
证明：因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOD＋∠BOC＝180°(平角的定义)，
所以∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等).
同样可以得到：∠AOD＝∠BOC.
归纳：对顶角相等．
范例：如图，直线AB，CD相交于点O，且OF为∠BOD内部一条射线，∠AOC＝70°，∠DOF＝40°，则∠BOF的度数为(A)
A．30°B．35°C．40°D．70°
eq\o(\s\up7(),\s\do5(（范例题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（仿例题图）))
仿例：如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(D)
A．90°B．120°C．150°`D.180°
变例：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1，求∠AOF的度数．
解：因为OE平分∠BOD，OF平分∠COB，
所以∠COF＝eq\f(1,2)∠BOC，∠DOE＝∠BOE，∠BOD＝2∠DOE.
因为∠AOD∶∠DOE＝4∶1，
所以设∠AOD＝4x°，∠BOE＝∠DOE＝x°.
因为∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°，即4x°＋x°＋x°＝180°，
所以x＝30，即∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，
所以∠BOC＝∠AOD＝120°，所以∠COF＝60°，∠AOC＝∠BOD＝60°，
所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝60°＋60°＝120°.
1．各小组共同探讨“自学互研”部分，将疑难问题板演到黑板上，小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．组长带领组员参照展示方案，分配好展示任务，同时进行组内小展示，将形成的展示方案在黑板上进行展示．
知识模块一对顶角的定义
知识模块二对顶角的性质
见学生用书．
1．收获：___________________________________
2．存在困惑：_______________________________