利用书P440页(9-127)式：，上式可变为：令，则：设：t1?t=?，则dt=?d?，上式可变为：第31页，共44页，星期日，2025年，2月5日第1页，共44页，星期日，2025年，2月5日显见B(?)的元素均为(n?1)阶多项式，根据矩阵加法规则可将其分解为N个矩阵之和，即：第2页，共44页，星期日，2025年，2月5日式中Bn?1,Bn?2,…,B0均为n阶矩阵。将式（9-119）两端右乘(?I?A)，得：将式(9-120)代入式(9-121)并展开有：令式(9-122)等号两边?同次项的系数相等，可得：An?An?1?A?第3页，共44页，星期日，2025年，2月5日将式(9-123)两端按顺序右乘An,An?1,?,A得：将式(9-124)中各式相加，可得：证毕。第4页，共44页，星期日，2025年，2月5日[推论1]矩阵A的k(k≥n)次幂可表示为A的(n?1)阶多项式，即：式中的?m与A阵的元素有关。此推论证明较为简单，可直接利用凯莱-哈密顿定理，见书上P439。（略）[推论2]矩阵指数eAt可表示为A的(n?1)阶多项式，即：式中?m(t)(m=0,1,2,?,n?1)均为t的幂级数。此推论可利用凯莱-哈密顿定理和推论1证明，见书上P439。（略）第5页，共44页，星期日，2025年，2月5日[秩判据]线性定常连续系统(9-107)完全可控的充分必要条件是：其中，n为矩阵A的维数，S=[BAB…An?1B]称为系统的可控性判别阵。（）[证明]充分性：假设rankS=n，欲证系统完全可控。采用反正法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知：为奇异，第6页，共44页，星期日，2025年，2月5日这意味着存在某个非零n维向量?使：成立。显然，由此可导出：将式(9-129)对t求导直至n?1次，再在所得结果中令t=0，得：式(9-130)又可表示为：第7页，共44页，星期日，2025年，2月5日由于??0，所以式(9-131)意味着S为行线性相关，即rankSn，显然和已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。必要性：假设系统完全可控，欲证rankS=n。采用反正法：反设rankSn，这意味着S为行线性相关，因此必存在一个非零n维常数向量?使：成立。要使上式成立，向量?TS的每一个元素都必须为零，即：根据凯莱-哈密顿定理，An,An+1,…均可表示为A的(n?1)阶多项式，因而式(9-132)又可写为：第8页，共44页，星期日，2025年，2月5日从而对任意t10有：或：因而有：因为已知??0，若式(9-135)成立，则W(0,t1)必为奇异，系统为不完全可控，这与假设相矛盾，于是应有rankS=n，必要性得证。（秩判据证毕）第9页，共44页，星期日，2025年，2月5日[例9-17]桥式网络如图9-26所示，试用可控性判据判断其可控性。[解]该桥式电路的微分方程为：第10页，共44页，星期日，2025年，2月5日选取状态变量x1=iL，x2=uc，消去微分方程组中的i1,i2,i3,i4，可得状态方程为：可控性矩阵为：第11页，共44页，星期日，2025年，2月5日当时，rankS=2=n，系统可控。但是，当电桥处于平衡状态，即R1R4=R2R3时，及成立，这时状态方程变为：可控性矩阵为：rankS=1n，系统不可控，u不能控制x2，x2是不可