课题线段垂直平分线
【学习目标】
1．通过尺规作图，理解线段垂直平分线的概念，探究线段垂直平分线的性质和判定；
2．线段垂直平分线的性质和判定的运用；
3．培养学生运用简练、准确的语言表达作图方法与书写解答或证明过程的能力．
【学习重点】
探究线段垂直平分线的性质．
【学习难点】
线段垂直平分线的性质和判定的联系与区别．
如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称．则点B关于直线MN的对称点是点__E__．我们连结BE，与直线MN相交于点H，量一量∠MHB的大小以及线段BH，EH的长度．你发现线段BE与直线MN有什么关系？
直线MN垂直于线段BE，且平分线段BE，我们说直线MN垂直平分线段BE，或者说直线MN是线段BE的垂直平分线．下面我们就一起来研究线段的垂直平分线．
知识模块一探究线段垂直平分线的性质定理和判定定理
阅读教材P103～P104，完成下面的内容：
由线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴可知：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的__垂直平分线__．
探究1：如图①：直线l是线段AB的垂直平分线，点D是直线l上任意一点，那么DA＝DB吗？
分析：因为直线l是线段AB的垂直平分线，所以AC＝BC，∠ACD＝∠BCD，又CD＝CD，所以△ACD≌△BCD(SAS)，所以DA＝DB.
探究2：如图②：如果DA＝DB，那么点D在线段AB的垂直平分线上吗？
分析：方法(1)：取AB的中点C，连结CD，因为AC＝BC，CD＝CD，AD＝BD，所以△ACD≌△BCD(SSS)，所以∠ACD＝∠BCD，又∠ACD＋∠BCD＝180°，所以∠ACD＝∠BCD＝90°.所以AB⊥CD，所以点D在线段AB的垂直平分线上．
方法(2)：过点D作DC⊥AB于点C，所以∠ACD＝∠BCD＝90°.又因为CD＝CD，AD＝BD，所以Rt△ACD≌Rt△BCD(HL)，所以AC＝BC，所以点C是AB的中点，所以点D在线段AB的垂直平分线上．
归纳：(1)线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__；
(2)线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的__垂直平分线上__．
范例：如图，在△ABC中，已知BC比AC长3cm，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，△ACD的周长是15cm，求BC和AC的长．
解：设BC＝xcm，AC＝ycm
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.
∵C△ACD＝AC＋CD＋AD＝15cm，
∴AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝15cm.
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,x＋y＝15，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝6.))
∴BC的长为9cm，AC的长为6cm.
知识模块二运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题
范例：已知：如图，在△ABC中，OM是AB的垂直平分线，OA＝OC，求证：点O在BC的垂直平分线上．
证明：连结OB.
∵OM是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵OA＝OC，
∴OB＝OC.
∴点O在BC的垂直平分线上．
变例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F.
求证：BE垂直平分CD.
证明：∵BD＝BC，
∴点B在CD的垂直平分线上，∠BCD＝∠BDC.
∵∠ACB＝90°＝∠BDE，
∴∠ACB－∠BCD＝∠BDE－∠BDC，即∠ECD＝∠EDC.
∴ED＝EC.
∴点E在CD的垂直平分线上，
∴BE垂直平分CD.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一探究线段垂直平分线的性质定理和判定定理
知识模块二运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________