课题两数和乘以这两数的差
【学习目标】
1．认识平方差公式，并了解公式的意义；
2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题；
3．通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一．
【学习重点】
理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题．
【学习难点】
理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来．
1．问题：复习多项式的乘法法则并填空：(a＋b)(m＋n)＝__am＋an＋bm＋bn__．
2．在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝____________和103×97＝____________，主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说：“第一题等于1029，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出，同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？学了本节之后，你也能计算得如此快．
知识模块一探究平方差公式
阅读教材P35～P37，完成下面的内容：
1．用多项式的乘法法则计算：
(a＋b)(a－b)＝__a2－ab＋ab－b2__(多项式乘法法则)＝__a2－b2__(合并同类项).
语言叙述为：__两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差__．
2．平方差公式结构特征：
(1)左边是__两个__二项式相乘，二项式中有一项__完全相同__，另一项__互为相反数__；
(2)右边是乘式中两项的__平方差__；
(3)平方差公式的几何解释：
观察教材图11.3.1发现：等式左边可表示为(a＋b)(a－b)，等式右边可表示为__a2－b2__，所以__(a＋b)(a－b)__＝__a2__－__b2__．
3．理解平方差公式：
问题：(1)下列各式都能用平方差公式吗？
①(a－3)(a＋3)；(能)②(a＋3)(a－2)；(否)
③(－a＋3)(－a－3)；(能)④(a＋3)(－a－3)；(否)
⑤(－a－3)(a－3).(能)
(2)能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？
解：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数．
(3)在平方差这个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么办法确定？
解：相同项的平方减去相反项的平方．
知识模块二平方差公式的运用
范例1：计算：
(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(2y－x)(－2y－x)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋5y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－5y))；
(4)(－3x2＋y2)(y2＋3x2).
解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x2－4；
(2)原式＝(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2；
(3)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x))eq\s\up12(2)－(5y)2＝eq\f(4,9)x2－25y2；
(4)原式＝(y2－3x2)(y2＋3x2)＝(y2)2－(3x2)2＝y4－9x4.
仿例：计算：
(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(3,2)y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(3,2)y))；(2)(－2＋x)(－2－x)；
(3)(2x＋y)(2x－y)；(4)(－3x－2y)(2y－3x).
解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)y))eq\s\up12(2)＝eq\f(x2,4)－eq\f(9,4)y2；
(2)原式＝(－2)2－x2＝4－x2；
(3)原式＝(2x)2－y2＝4x2－y2；
(4)原式＝(－3x＋2y)(－3x－2y)＝(－3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.
范例2：利用平方差公式计算：
(1)1998×2002；(2)40eq\f(2,3)×39eq\f(1,3).
解：(1)原式＝(2000－2)×(2000＋2)＝20002－22＝4000000－4＝3999996；
(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40＋\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(2,3)))＝402－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝160