第1篇
一、选择题（每题5分，共20分）
1.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(3,4,5)$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$的值为（）
A.14B.10C.8D.6
2.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^2$的值为（）
A.$\begin{bmatrix}710\\1522\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}14\\616\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}78\\910\end{bmatrix}$
3.设$A$是一个$n$阶方阵，若$A^2=\boldsymbol{O}$，则$A$必定是（）
A.可逆矩阵B.不可逆矩阵C.对角矩阵D.上三角矩阵
4.设$A$是一个$n$阶可逆矩阵，则$A^{-1}$是（）
A.$A$的伴随矩阵B.$A$的逆矩阵C.$A$的转置矩阵D.$A$的共轭矩阵
5.设$A$是一个$n$阶方阵，若$A$的行列式$|A|=0$，则$A$必定是（）
A.可逆矩阵B.不可逆矩阵C.对角矩阵D.上三角矩阵
二、填空题（每题5分，共20分）
6.设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(3,4,5)$，则$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$的值为$\boxed{(6,-3,8)}$。
7.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^{-1}$的值为$\boxed{\begin{bmatrix}4-2\\-31\end{bmatrix}}$。
8.设$A$是一个$3$阶方阵，且$A^3=\boldsymbol{O}$，则$A$必定是$\boxed{不可逆矩阵}$。
9.设$A$是一个$2$阶可逆矩阵，则$|A^{-1}|$的值为$\boxed{1}$。
10.设$A$是一个$3$阶方阵，且$|A|=0$，则$A$必定是$\boxed{不可逆矩阵}$。
三、解答题（每题20分，共40分）
11.（1）证明：若$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$是两个非零向量，则$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$的模长等于$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
（2）已知$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(3,4,5)$，求$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$的模长。
12.（1）设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^2$。
（2）设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{-1}$。
四、证明题（20分）
13.证明：若$\boldsymbol{A}$是一个$n$阶可逆矩阵，则$\boldsymbol{A}^n$也是可逆矩阵，且$(\boldsymbol{A}^n)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-n}$。
第2篇
一、选择题（每题5分，共25分）
1.设矩阵A为：
$$
A=\begin{bmatrix}
12\\
34
\end{bmatrix}
$$
则矩阵A的行列式值为：
A.2B.6C.8D.10
2.设向量a和向量b满足a·b=0，则向量a和向量b的关系是：
A.平行B.垂直C.