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2015年高考数学试题分类汇编及答案解析

专题八：导数及其应用

1.（2015年北京理科）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为

【解析】（Ⅰ），曲线

在点处的切线方程为；

（Ⅱ）当时，，即不等式，对于

成立，设，则求得

，当时，

，故在上为增函数，则，因此对，

成立；

（Ⅲ）使对恒成立，等价于对

成立，设，，则

，当时，，函数在上

为增函数，，符合题意；

当时，令，，

极小值

，不成立，综上所述可知：的最大值为.

【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性