第1页，共37页，星期日，2025年，2月5日定义2码字X=x1x2…xn的汉明重量是码字中非零码元的位数，用W(X)表示。例如：W(1001)=2,W(11010)=3由定义1和定义2知D(X,Y)=W(X-Y)定义3一组码字C包括若干码字C1,C2,…,Cn,所有这些码字相互间码距的最小的数值，称为该码组的最小码距d(简称码距d)。d=minD(Ci,Cj)=minW(Ci-Cj)i,j∈1,2,…N,i≠j例如C=(0111100,1011011,1101001)d=3说明：为尽量避免码字受到干扰而出错，总是希望码字间有尽可能大的距离，最小码距代表了一个码组中最不利的情况。从安全出发，往往选用最小码距来分析码的检错纠错能力。第2页，共37页，星期日，2025年，2月5日第二节检错能力与纠错能力1、码距为1时，能保证码字的唯一性，但不能检错和纠错。2、码距为2时，能检查出一位错误，但无法纠错。3、码距为3时，能检查出一位或两位错误，并且还可纠正一位错误。例：设码长为3，取000、111作为码字，其余为禁用码字。如接收端收到001，它是禁用码字，知道出错，由于001与000相差一个码元，与111相差两个码元，根据最大似然译码原则将001译为000。最大似然译码原则：当Ci为若干个发送码字中的一个，R为接收码字，若条件概率P(R/Ci)为最大，则认为码字Ci就是发送码字。第3页，共37页，星期日，2025年，2月5日结论：（一）、要检出码字中任意e个码元错误，必须使最小码距d满足d≥e+1（二）、要纠正码字中任意t个码元错误，必须使最小码距d满足d≥2t+1（三）、要纠正码字中任意t个码元错误，并同时发现e个错误（e≥t），则最小码距d满足d≥t+e+1当码距d=2t+1时，码长为n的一个许用码字中可纠正的错误类型总数为：∑i=1tC(n,i)∴许用码字数Q≤∑i=0tC(n,i)2n第4页，共37页，星期日，2025年，2月5日第三节寄偶监督码寄偶监督码是最简单的一种检错码，是目前计算机系统用得最多的一种差错控制码。寄偶监督码的编码方式：是在n-1位信息元[Cn-1,Cn-2,…C1]后面附加1位监督元C0，使得码字中“1”的数目保持为奇数或偶数。奇数监督，对应的监督方程为：Cn-1+Cn-2+……+C1+C0=1偶数监督，对应的监督方程为：Cn-1+Cn-2+……+C1+C0=0P169表5-1列出了用七位ASCII码表示的十个数字符号的寄偶校验位。第5页，共37页，星期日，2025年，2月5日判别方法：接收端收到编好的寄偶监督码后，用与发送端相同的规则检查“1”的个数是否仍保持奇数或偶数，从而确定传输过程中是否有错误。特点：能发现一位码元或所有奇数位码元出错的情况。但不能纠正任何错误以及发现偶数位码元错误。简单寄偶码的效率高：η=n-1n寄偶监督码的实现：1、硬件法：采用模二相加的异或电路。C1C2C3C4C5C6C7C0C0’第6页，共37页，星期日，2025年，2月5日2、软件法（见P170图5-6的流程图）为了改进差错控制性能，引入二维寄偶监督码（水平-垂直寄偶监督码、方阵码、纵横寄偶监督码）。就是在水平方向进行寄偶监督的同时，再按垂直方向进行一次寄偶监督。如P171图5-7，图5-8（二维水平-斜向寄偶监督码）。二维寄偶监督码特点：能检出每一行或每一列的两位或偶数位错误。可以用水平、垂直两个方向上的监督码元，来确定单个错误码元的位置，从而进行纠正。但它无法检出四个错误码元构成矩形（或平行四边形）四个顶点的错误图样，也无法检出双向成偶的错误图样。第7页，共37页，星期日，2025年，2月5日第五节监督矩阵与生成矩阵设有待编码的消息序列为M=[m1m2…mk],对应的信息元序列[X1X2…Xk]。为了进行差错控制，我们按线性代数关系来添加监督码元序列[Xk+1Xk+2…Xn]，则称此码长n，信息元数k的码字序列[X1X2…Xk|Xk+1Xk+2…Xn]为线性分组码。记为(n,k)，如果其最小码距为d，也可记为(n,k,d)或[n,k,d]。其中监督元数r=n-k。用线性的监督方程组来表示：a11X1+a12X2+……+a1kXk=Xk+1a21X1+a22X2+……+a2kXk=Xk+2……ar1X1+ar2X2+……+arkXk=Xn式中加号均表示模二加第8页，共37页，星期日，2025年，2月5日