线代课件向量的内积长度及正交性第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日1.定义1内积一、内积的定义及性质说明1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．(Innerproduct)第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日2.内积的运算性质第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日1.定义2长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日单位向量2.第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日解夹角第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日1、正交的概念２、正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日证明３、正交向量组的性质定理1第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日4、正交单位向量组每个向量都是单位向量的正交向量组.5、向量空间的正交基第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日6、规范正交基例如定义(标准)第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日同理可知第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日7、求规范正交基的方法下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日(2)单位化,取(1)正交化,取，第16页，共28页，星期日，2025年，2月5日例２用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正交化，取施密特正交化过程第17页，共28页，星期日，2025年，2月5日再单位化，得规范正交向量组如下第18页，共28页，星期日，2025年，2月5日例解第19页，共28页，星期日，2025年，2月5日把基础解系正交化，即合所求．亦即取第20页，共28页，星期日，2025年，2月5日